一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=?（0????60?），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含?的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求?的值。 1【答案】（1）30???（2）见解析（3）??30?
21【解析】解：（1）30???。
2（2）△ABE为等边三角形。证明如下：
连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°，
1∴?ABD?60???DBE??EBC?30???且△BCD为等边三角形。
2在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴?BAD??CAD??BAC??。
11∵∠BCE=150°，∴?BEC?180??(30???)?150???。∴?BEC??BAD。
221212在△ABD和△EBC中，∵?BEC??BAD，?EBC??ABD，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。 ∴△ABE为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴?DCE?150??60??90?。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC。
∵∠BCE=150°，∴?EBC?(180??150?)?15?。 21而?EBC?30????15?。∴??30?。
2（1）∵AB=AC，∠BAC=?，∴?ABC?180??? 2。
∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴?DBC?60?。 ∴?ABD??ABC??DBC?180?????60??30??。 22（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，由AAS证明△ABD≌△EBC，即可根据有一个角等于60?的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。
（3）通过证明△DCE为等腰直角三角形得出?EBC?1?EBC?30???，从
21而30????15?，解之即可。
2(180??150?)?15?，由（1）
2
2．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：
当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4． 【解析】 【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）
①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标． 【详解】
(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b， 故答案为CB的延长线上，a+b； (2)①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB，
?AD?AB?在△CAD与△EAB中，??CAD??EAB ，
?AC?AE?∴△CAD≌△EAB(SAS)， ∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， ∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5； (3)如图1，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN， 则△APN是等腰直角三角形， ∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)， ∴OA＝2，OB＝6， ∴AB＝4，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
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