3??m?1????m?n?0解得 ? 2?2??n?2 ?n?2?13∴抛物线解析式为 y??x2?x?2………………………………2分 22
123y??x?x?2可知对称轴为直线x?3 ∴D(3,0) …………3分 （2）由 2222123?x?x?2?0令y=0，则 22解得x1??1,x2?4
∴B(4,0) ………………………4分
设直线BC的解析式为y=kx+b,
y 1??4k?b?0?k?? 将B、C点坐标代入得?，解得?2
b?2???b?2C 1∴直线BC的解析式为y??x?2………………………5分 2设F(x,y)，EF⊥x轴于点H，则H（x,0）
F E x D H B 1xy∴梯形COHF的面积S1=OH(CO?FH)?x?
221xy Rt△BHF的面积S2=BH?FH?2y?
2213 Rt△OCD的面积S3=OC?OD?
223∴四边形CDBF的面积S=S1+S2-S3=x?2y?
2又∵F在抛物线上
A o y??x?x?2代入S得S=?x?4x? ∴将 ∵S是关于x的二次函数，a=-1＜0 ∴当x=2时，S有最大值为
122322513??(x?2)2?………8分 2213………9分 2此时E点的横坐标x=2………10分 ∵E点在直线BC上
1?2?2?1 ∴E(2,1) ………11分 235335（3）P点坐标为（，）（，?）（，-4） ………14分
22222∴y??
图8
备用图
九年级上学期数学期中考试试题
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1.已知点A(1，2)，点A关于原点的对称点是A1，则点A1的坐标是（ ） A. （?1,?2） B. （?2,1） C. （2,?1） D . （?1,2） 2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 3.方程x2
＝4的解是（ ）
A．x?2 B．x??2 C．x1?1,x2?4 D．x1?2,x2??2 4.一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
5.用配方法解方程x2?6x?5?0，下列配方结果正确的是（ ）
A．(x?6)2?11 B．(x?3)2?14 C．(x?3)2?14 D．(x?3)2?4 6.已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图1所示， 则下列结论正确的是（ ）
A. AO＝BO B. BO＝EO
C. 点A关于点O的对称点是点D D.点D 在BO的延长线上 图1
7.对抛物线y??(x?7)2?6描述正确的是（ ）
A. 开口向下，顶点坐标是（7，-6） B. 开口向上，顶点坐标是（-7，6） C. 开口向下，顶点坐标是（-7，-6） D. 开口向上，顶点坐标是（-7，-6）
8.已知点(-1，y1)，(4，y2)，(5，y2
3)都在抛物线y＝(x-3)+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（ A.y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y1＞y2＞y3 D. y1＞y3＞y2 9.已知抛物线y＝ax2
＋bx＋c和y＝max2
＋mbx＋mc，其中a，b，c，m均为正数，
） 且m≠1.则关于这两条抛物线，下列判断正确的是（ ） A.顶点的纵坐标相同 B.对称轴相同
C.与y轴的交点相同 D .其中一条经过平移可以与另一条重合 10.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图2，则下列判断正确是( )
A. a＜0，b＞0，c＞0 B. a＜0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＜0，c＞0 D. a＞0，b＜0，c＞0
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.抛物线y?2x?3x?1的对称轴是 ．
12.如图3，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，且CD⊥AB于
点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
13.抛物线y=x+8x+20与x轴公共点的的个数情况是有 个公共点．
14.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式 是s＝60t－1.5t，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒. 15.把抛物线y=(x-9)+5向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平 y 移后抛物线的解析式为
16.如图4，已知二次函数y?ax?bx?c的图像过(-1,0)，
-1 222
2
2
y O （图2）
x CA E D（图3） O2B
O ?y 3 2 C 1 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 （图5） 1 2 3 x 12123(0，?)两点，则化简代数式(a?)?4?(a?)?4= . aa4三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （满分8分）解方程x＋4x－5＝0.
18. （满分8分）如图5，已知A（－2，3），B（－3，2），
C（－1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后
得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标．
2
34（图4） x A B 19. （满分8分）用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm的矩形？能围成一个面积为101cm的矩形吗？如能，
说明围法；如不能，说明理由．
20.（满分8分）如图6，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请找出线段OE与OF的数量关系，
并给予证明．
22
OACEFBD
21. （满分8分）已知抛物线的顶点为（1，4），与y轴交点为（0，3） （1）求该抛物线的解析式，并画出此函数的图像； （2）观察图像，写出当y＜0时，自变量x的取值范围。
22. （满分10分）如图7，已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边交于点E，点P是线段DE上一定点（其
中EP＜PD）. 若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交线段DA于点H、G. （1） 求证：PG=PF；
（2） 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明
你的结论.
23. （满分10分）已知关于x的方程x?(2k?3)x?k?1?0有两个不相等的实数根x1，x2
（1）求k的取值范围 （2）试说明x1＜0，x2＜0
（3）若抛物线y?x?(2k?3)x?k?1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且
OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.
24.（满分12分）定义：若抛物线L2：y?mx2?nx（m≠0）与抛物线L1：y?ax2?bx（a≠0）的开口大小相同，方
向相反，且抛物线L2经过L1的顶点，我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”. （1）若L1的表达式为y?x?2x，求L1的“友好抛物线”的表达式；（5分）
（2）平面上有点P (1，0)，Q (3，0)，抛物线L2：y?mx2?nx为L1：y?ax2的“友好抛物线”，且抛物线L2的
顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L2与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围.（7分）
2图6
A H G D F
B P E
图7
C
2222
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