2019年全国各地中考数学压轴题汇编
几何综合
参考答案与试题解析
1．（2019?南京）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G． 2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形， ∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形．
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝
＝5，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC， ∴∴x＝
+x＝3， ，
，
时，菱形的个数为0．
∴CD＝x＝
观察图象可知：0≤CD＜
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB， ∴∴
＝
，
＝，
， ＝，
解得m＝∴CD＝3﹣
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB， ∴∴∴n＝
＝
，
＝， ，
＝
，
∴CG＝4﹣
∴CD＝＝，
或＜CD＜3时，菱形的个数为0，当CD＝
或＜CD≤时，
观察图象可知：当0≤CD＜菱形的个数为1，当
＜CD≤时，菱形的个数为2．
2．（2019?无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图2，在?ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
解：（1）如图1，连结AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．
（2）①如图2，连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB于点F，F即为所求
②如图3所示，AH即为所求．
3．（2019?常州）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n＝ 1+3+5+7+…+2n﹣1． ； 【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ 6 ；当n＝5，m＝ 3 时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ n+2（m﹣1） （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
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解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c． 直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c 整理得（a+b）＝2ab+c，a+b+2ab＝2ab+c， ∴a+b＝c．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a+b＝c．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1． 由图形可知：n＝1+3+5+7+…+2n﹣1． 故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，
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如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
4．（2019?扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
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