专题62 离散型随机变量的均值与方差
基础知识要夯实
1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
?1?期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,
?2?E?X?是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E?X?是不变的，它描述X取值的平均状态.
?3?E?X?＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E?X?的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加. 2.方差
设离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝
?(x?E(X))ii?1n2pi为这些偏
离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.
?1?随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D?X?越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D?X?越小，X的取值越集中在E?X?附近.,?2?方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负. 3.两个特殊分布的期望与方差
分布 两点分布 二项分布 期望 E(X)＝p E(X)＝np 方差 D(X)＝p(1－p) D(X)＝np(1－p) [熟记常用结论] 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).
基本技能要落实
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )
(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、选填题
1.已知X的分布列为：
X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) A.
－1 0 1 1 21 31 67 3B.4 D.1
C.－1 【答案】A
【解析】∵E(X)＝－
111＋＝－， 26327＋3＝. 33∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－
2.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________. 【答案】
9 16??1?4?【解析】∵X～B?0,?，∴D(X)＝3×
139×＝. 44163.一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为________. 【答案】
5 2X P 1 2 3 4 【解析】X的分布列为：
11 441 41 4∴E(X)＝1×
11115＋2×＋3×＋4×＝. 44442典型例题剖析
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[典例精析]
为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为
11，；1小时以上46且不超过2小时离开的概率分别为
12，；两人滑雪时间都不会超过3小时. 23(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 两人都付0元的概率为P1＝
111×＝， 4624121×＝， 233两人都付40元的概率为P2＝两人都付80元的概率为 P3＝?1???11??11?111??×?1???＝?＝， 42??63?4624故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝
1115＋＋＝. 2432412(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则： P(ξ＝0)＝
111， ?＝
46241221111?????＝， 43342641112115×＋×＋×＝， 4623641211121×＋×＝， 26434111×＝. 4624ξ 0 40 80 120 160 P(ξ＝40)＝P(ξ＝80)＝
P(ξ＝120)＝P(ξ＝160)＝
ξ的分布列为：
P E(ξ)＝0×
1 241 45 121 41 2411511＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. 24412424115114000＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 244124243[解题技法]
D(ξ)＝(0－80)2×
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 考点二 二项分布的均值与方差
[典例精析]
(2019·成都检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这用水量超标.
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列、数学期望和方差.
【解析】(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A，
12C4C8C8316842则P(A)＝＋3＝ ?3C12C1222055数据作一天的
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为X的所有可能取值为0,1,2,3，
1. 3?1?k易知X～B?3，?，P(X＝k)＝C3?3?则P(X＝0)＝
?1??2??????3??3?k3?k，k＝0,1,2,3，
8142，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝. 272799X 0 1 2 3 ∴随机变量X的分布列为：
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