由点Q在直线AB上，并注意到点??x1?x2y1?y2?，?也在直线AB上，
2??2代入得y3?x0x3． p2若D(x3，y3)在抛物线上，则x3?2py3?2x0x3，
因此x3?0或x3?2x0．
2??2x0即D(0，0)或D?2x0，?．
p???2p)适合题意． （1）当x0?0时，则x1?x2?2x0?0，此时，点M(0，2??x12?x20)，此时C?2x0，（2）当x0?0，对于D(0，?，
2p??kCD2x12?x22x12?x22p， ??2x04px0又kAB?x0，AB?CD， p22x0x12?x2x12?x2?????1， p4px04p2所以kAB?kCD22即x1?x2??4p2，矛盾．
22????2x0x12?x2对于D?2x0，?，因为C?2x0，?，此时直线CD平行于y轴，
p2p???? 又kAB?x0?0， p所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以x0?0时，不存在符合题意的M点．
?2p)适合题意． 综上所述，仅存在一点M(0，59. （湖北文20）(本小题满分13分)
x2y2已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的两个焦点为F1(?2，点P(0)，F2(2，0)，3，7)在
ab双曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，若（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q(0，△OEF的面积为22，求直线l的方程．
20．本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基
础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力． （满分13分）
x2y2?1(0?a2?4)． （Ⅰ）解法1：依题意，由a?b?4，得双曲线方程为2?2a4?a22将点(3，7)代入上式，得
297??1． a24?a22解得a?18（舍去）或a?2，
x2y2??1． 故所求双曲线方程为
22解法2：依题意得，双曲线的半焦距c?2．
2a?PF1?PF2?(3?2)2?(7)2?(3?2)2?(7)2?22， ?a2?2，b2?c2?a2?2．
x2y2?双曲线C的方程为??1．
22（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l的方程为y?kx?2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1?k)x?4kx?6?0． ①
22?直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
2???1?k?0，?k??1，???? 22?3?k?3．??(?4k)?4?6(1?k)?0，?????k?(?3，?1)?(?11)，?(1，3)． ②
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1?x2?于是EF?24k6xx??，， 12221?k1?k(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2
22223?k2?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?． 21?k而原点O到直线l的距离d?21?k2，
?S△OEF2112223?k22223?k?d?EF???1?k??． 22221?k21?k1?k若S△OEF223?k242?22?k?k?2?0，解得k??2． ?22，即21?k满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y?2x?2和y??2x?2 解法2：依题意，可设直线l的方程为y?kx?2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1?k2)x2?4kx?6?0． ①
?直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
2???1?k?0，?k??1，???? 22???3?k?3．???(?4k)?4?6(1?k)?0，??k?(?3，?1)?(?11)，?(1，3)．②
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得
?223?k2x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??．③ 221?k1?k2
y Q y E Q x F x Ｆ1 E O Ｆ2 F 图1 Ｆ1 O Ｆ2 图2 当E，F在同一支上时（如图1所示），
S△OEF?S△OQF?S△OQE?11OQ?x1?x2?OQ?x1?x2； 22当E，F在不同支上时（如图2所示），
S△OEF?S△OQF?S△OQE?综上得S△OEF?得S△OEF11OQ?(x1?x2)?OQ?x1?x2． 221OQ?x1?x2，于是由OQ?2及③式， 2223?k2?． 21?k若S△OEF223?k242?22?k?k?2?0， ?22，即21?k解得k??2，满足②．
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y?2x?2和y??2x?2． 60.(湖北理19)（本小题满分13分）
如图，在以点O为圆心，AB?4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足MA?MB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P． （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F． 若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围．
A D P O B 19．本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力．（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
0)，B(2，0)，D(0，2)，P(31)则A(?2，，，依题意得 MA?MB?PA?PB
2?12＝22＜｜AB｜＝4． ?(2?3)2?12?（2?3）∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2，2a＝22，∴a2=2，b?c?a?2．
222x2y2??1． ∴曲线C的方程为22解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得
MA?MB?PA?PB?AB?4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
x2y2设双曲线的方程为2?2?1(a＞0，b＞0）．
ab?(3)212?2?2?1，则由?a解得a2=b2=2， b?a2?b2?4．?
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