首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
y
( x ? y) ln(1 ? )
x dxdy ? ? 1．计算 ??
D
1 ? x ? y
坐标轴所围成三角形区域.
，其中区域 D 由直线 x ? y ? 1 与两
? 0 1 ??解 令 x ? y ? u, x ? v ，则 x ? v, y ? u ? v ， dxdy ? det??? dudv ? dudv ，
? 1 ? 1??
y
( x ? y) ln(1 ? )
x dxdy ? u ln u ? u ln vdudv
?? D 1 ? x ? y ?? D1 ? u
ln vdv)du
?1 ? u ?0
2 1 u ln u u(u ln u ??u) ?? ??? d 0
1 ? u u
1 ? u 2 1 u du ? ?0
1 ? u （*）
0
0
? ?(
1
u ln u
1 ? u ?
u
dv ?
u
u
令 t ? 1 ? u ，则u ? 1 ? t 2 ，du ? ?2tdt ，u 2 ? 1 ? 2t 2 ? t 4 ，u(1 ? u) ? t 2 (1 ? t)(1 ? t) ， 0
(*) ? ?2?1 (1 ? 2t 2 ? t 4 )dt
1 1 ??2 3 1 5 ?? 16 24
? 2? (1 ? 2t ? t )dt ? 2?t ? t? t ?? 0
? 3
5 ? 0
15
2 0
2．设f ( x) 是连续函数，且满足 f ( x) ? 3x ?
2
?
f ( x)dx ? 2 , 则 f ( x) ? .
解 令 A ?
?
2 0
f ( x)dx ，则 f (x) ? 3x 2 ? A ? 2 ，
A ? ??(3x2 ? A ? 2)dx ? 8 ? 2( A ? 2) ? 4 ? 2 A ,
0
2
解得 A ?
4 10。因此 f ( x) ? 3x 2 ? 3 3
2
x
3．曲面 z ? ? y 2 ? 2 平行平面 2x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是
2
( x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),?1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),? 1) 与
(2,2,?1) 平行，因此，由 zx ? x ， z y ? 2 y 知 2 ? zx (x0 , y0 ) ? x0 ,2 ? z y (x0 , y0 ) ? 2 y0 ，
即 x0 ? 2, y0 ?(1，z, x )又于是曲面 2x ? 2 y ? z ? 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) ?2 z, 1 ) ? 1，0 y 0 (
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x 2
解 因平面 2x ? 2 y ? z ? 0 的法向量为 (2,2?, 1) ，而曲面 z? ? y 2 ? 2 在
2
.
x 2
处的切平面方程是 2(x ? 2) ? 2( y ? 1) ? (z ? 1) ? 0 ，即曲面 z ? ? y 2 ? 2 平行平面
2
2x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是 2x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 。
4．设函数 y ? y(x) 由方程 xe
f ( y )
? e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ? ? 1 ，
d 2 y 则 2? dx
解法 1 方程 xe 即
f ( y )
.
? e y ln 29 的两边对 x 求导，得
e f ( y ) ? xf ?( y) y?e f ( y ) ? e y y? ln 29
1
[ ? f ?( y) y?]xe f ( y ) ? y?e y ln 29 x
1 1 ，因此 因 e y ln 29 ? xe f ( y ) ? 0 ，故 ? f ?( y) y? ? y? ，即 y? ??
x(1 ? f ?( y)) x
d y 1 ?f ? ( y) y??? ?? y? ??dx 2 x 2 (1 ? f ?( y)) x[1 ? f ?( y)]2
f ? ( y) ? [1 ? f ?( y)]2 f ? ( y) 1 ??? 2 ?? ?x2 [1 ? f ?( y)]3 x [1 ? f ?( y)]3 x 2 (1 ? f ?( y))
解法 2 方程 xe
f ( y )
2
? e y ln 29 取对数，得 f ( y) ? ln x ? y ? ln ln 29
（1）
1
方程（1）的两边对 x 求导，得 f ?( y) y? ? ? y??
x
1 即 y? ??
x(1 ? f ?( y))
1
方程（2）的两边对 x 求导，得 f ?( y) y? ? f ? ( y)( y?)2 ? 2 ? y??
x
将（3）代入（4），得
（2）
（3）
（4）
f ? ( y) 1 ? f ?( y) y? ??2 ? y??
x(1 ? f ?( y))2 x 2
将左边的第一项移到右边，得
2
f ? ( y) ??(1 ??f ?( y)) ? y? (1 ? f ?( y)) 2 2
x(1 ? f ?( y))
因此
f ? ( y) ? [1 ? f ?( y)]2
y? ??x 2 [1 ? f ?( y)]3
e ? e? ? ? e x
二、（5 分）求极限 lim( ) ，其中 n 是给定的正整数.
x?0 n
解法 1 因
x 2 x nxe
ex 2 x nx e x ? e2 x ?? ? ? ee ? e?? ? e? n ?
lim( ) ? lim(1 ??) x x?0 x?0 n n
nx e x
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故
x 2 x nx e ??e ??? ??e ??n e A ? lim
x?0 n x
x2 x nx e ??e ??? ??e ??n ? e lim
x?0 nx
x
2 x
nx
? e lim
因此
e ??2e ??? ??ne 1 ??2 ??? ??n n ? 1
? e ? e
x?0 n n 2
x 2 x
e e e ? ?? e??? ??) x ? e A ? e 2 lim( x?0 n
nx e
n ?1
解法 2 因
x 2 xx 2 x nxe ??e ??? ??e x ln(e ??e ??? ??e ) ??ln n lim ln( ) ? e lim x?0 x?0 x n
nx e
? e lim
故
x
e ??2e ??? ??ne 1 ??2 ??? ??n n ? 1
? e ? ex 2 x nx x?0 e ? e? ? ? en 2
x 2 x
nx
e e ? e2 x ? ? ??eA 2lim( ) ? e ? e
x?0 n
nx e
x
n ?1
三、（15 分）设函数 f ( x) 连续， g ( x) ?
?
1 0
f ( xt )dt ，且 lim x?0
f ( x) x
? A， A 为常数，求
g ?( x) 并讨论 g?( x) 在 x ? 0 处的连续性.
解 由 lim x?0
f ( x) f (x)
? A 和函数 f ( x) 连续知， f (0) ? lim f (x) ? lim x lim ? 0
x?0 x?0 x?0 x x
1 0
因 g ( x) ?
?f ( xt )dt ，故 g (0) ? ?0 f (0)dt ??f (0) ? 0 ，
1 f (u)du ，故 ??x
0 x
1
因此，当 x ? 0 时， g ( x) ??
?lim g ( x) ? lim
x?0
x?0
x 0
f (u)du f ( x) ? lim ??f (0) ? 0 x?0 1 x
当 x ? 0 时，
g?( x) ? ? 1 x
x
x
x 1 x
f (t)dtf (t)dt
? ? g ( x) ? g (0) 0f ( x) A ? lim 0 2g ?(0) ? lim ? lim x ? lim ?
x?0 x?0 x?0 x?0 2x x x x 2
1 x A ?A 1 x f ( x) f ( x) ??f (u)du ?lim g( x) ? lim[? 2 ] ? lim? lim2
f (u)du ? A ?? 2 ?2 0 x?0 x?0 x?0 x ?0 x?0 x ? x x
这表明 g?( x) 在 x ? 0 处连续.
2 0
?f (u)du ??
f ( x)
，
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四、（15 分）已知平面区域 D ? {(x, y) | 0 ? x ? ? , 0 ? y ? ?}， L 为 D 的正向边界， 试证：
（1） xe
L
?
L
sin y
5 2 ?sin y sin y （2）xe dy x ? ? . ye d ??
dy ? ye ? sin x dx ?? xe ? sin y dy ? yesin x dx ；
L
?
2
证 因被积函数的偏导数连续在 D 上连续，故由格林公式知 （1） xe
?
L
sin y
dy ? ye
?sin x
?? ??sin y ??? ?sin x ??dx ? ?? ?( xe) ?(? ye )?dxdy
?x ?y ??D ?
? ?? (esin y ? e? sin x )dxdy
D
? sin y sin x xe dy ? yedx ? L
? ? ???sin y ???sin x ?? ?????( xe ) ?(? ye)?dxdy
?x ?y ??D ?
? ?? (e? sin y ? esin x )dxdy
D
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
sin y ? sin x ? sin y sin x (e? e)dxdy ? (e? e)dxdy ?? ?? D
D
因此
? xe
L
sin y
dy ? ye ? sin x dx ?? xe ? sin y dy ? yesin x dx
L
（2）因
t t
e? e? 2(1 ? ? ? ?) ? 2(1 ? t 2 )
2! 4!
t
?t
2 4
故
esin x ? e?sin x ? 2 ? sin 2 x ? 2 ?
由
1 ??cos 2x 5 ??cos 2x ? 2 2
sin y ? sin y sin y ? sin x ? sin y sin x
xedy ? ye dx ? (e? e)dxdy ? (e? e)dxdy ? ?? ?? L
D
D
知
sin y ?sin y xedy ? ye dx ???
1 1 sin y ?sin x ?sin y sin x
?(e? e)dxdy ?(e? e)dxdy ?? ??
2 D 2 D
L
1 1 y siny sinx sinx ?sin ?sinx ?sinx
)dxdy ?? ?? (e ? e?)dxdy ???? (e?? e )dxdy ? ?? (e?? e
2 D 2 D
D
??
?
? ? ?(e?sin x ? esin x )dx ? ???
0
5 ? cos 2x
2
0
dx ? ?
2
5
2
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即
5 2 ?sin y sin y
?? d x ? ?? ye xe dy ? 2 L
? xe ? e五、（10 分）已知 y1 ? xe ? e， y 2
x
2 x
x
? x
， y ? xe ? e3
x
2 x
2 x
? e? x 是某二阶常系
数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
? xe ? e解 设 y1 ? xe ? e，y 2
x
2 x
x
? x
微分方程
y? ? by? ? cy ??f (x)
，y ? xe ? e3
x
? e? x 是二阶常系数线性非齐次
的三个解，则 y2 ? y1 ? e
? x
? x
? e和 y ? e都是二阶常系数线性齐次微分方程 ? y1 3
2 x
y? ? by? ? cy ? 0
的解，因此 y? ? by? ? cy ? 0 的特征多项式是 (? ? 2)(? ? 1) ? 0 ，而 y?? ? by? ? cy ? 0 的特
征多项式是
?2 ? b? ? c ? 0
? ? ? 2e x ? xe x ? 4e2 x y1 ? e x ? xe x ? 2e2 x ， y1
x
x
2 x
? ? y1? ? 2 y1 ??f (x) 和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为 y? ? y? ? 2 y ? 0 ，由 y1
x x 2 xx 2 x? ? y1? ? 2 y1 ? xe ? 2e ? 4e ? (xe ? e ? 2e ) ? 2(xe ? e ) 知， f (x) ? y1
? (1 ? 2x)e x
二阶常系数线性非齐次微分方程为
y? ? y? ? 2 y ? e x ? 2xe x
六、（10 分）设抛物线 y ? ax2 ? bx ? 2 ln c 过原点.当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又已知该抛物
1
线与 x 轴及直线 x ? 1所围图形的面积为 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的
3
旋转体的体积最小.
解 因抛物线 y ? ax2 ? bx ? 2 ln c 过原点，故 c ? 1 ，于是
1 1 2 b ??a b ? a ? ? (ax ? bx)dt ? ?x3 ? x 2 ?? ? 3 0 2 ? 0 3 2 ? 3
即
1
2
b ? (1 ? a)
3 而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
1 2
V (a) ? ? ?(axax 2 ? (1 ? a) x)2 dt 2 ? bx)2 dt ? ? ?(
0 0
3
1 3 1 44 2 4 2 1 2
? ?a ?x dt ? ? a(1 ? a)?x dt ? ? (1 ? a)?x dt
0 0 0 3 9
1
1 1 4
? ?a 2 ? ? a(1 ? a) ? ??(1 ? a)2 5 3 27
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