2015届高三理科数学模拟试题（四）

高三理科数学模拟试题（四）

一、选择题 1．复数z?2?i2?i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知x、y取值如下表：

x y 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3

从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y??0.95x?a，则a? （ ） A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80

3．执行如图所示的程序框图，则输出S?（ ） A．2 B．6 C．15 D．31

4．如果数列aaa,an1,2a,3,a,…是首项为1，

公比为?2的等比数列，则a5等于（ ） 1a2n?1 A．32 B．64 C．?32 D．?64

5．市内某公共汽车站6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ） A．48 B．54 C．72

D．84

6．已知?ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c，若?ABC的面积为S，且2S??a?b?2?c2,则tanC等于（ ） A．

34 B．

43 C．?34 D． ?43 7．关于二项式(x?1)2013有下列命题：

（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为C620072013x；

（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；（4）当x?2014时，(x?1)2013除以2014的余数是2013。 其中正确命题有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若直线y?k(x?4)与曲线y?4?x2有公共点，则（ ）

A．k有最大值33，最小值?33 B． k有最大值0，最小值?33 C．k有最大值

12，最小值?12 D．k有最大值0，最小值?12 y?12x2?lnx上斜率最小的一条切线与双曲线x2y29．曲线C：a2?b2?1的渐近线平行，则该双曲线的离心率

为（ ） A．3 B．2 C．5 D．3

10．在R上的可导函数f(x)?13x3?12ax2?2bx?c，当x∈（0,1）时取得极大值，当x∈（1,2）时取得极小值，则

b?2a?1的取值范围是（ ） A．(?12,12) B．(?12,14) C．(112,1) D．(4,1)

二、填空题 11．若函数y?lg(mx?1?1)的图像关于原点成中心对称，则非零实数m= 12．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C?，

C?E点在线段AC?上，若二面角A?BD?E与二面角

EE?BD?C?的大小分别为30°和45°，则

AE= ．DEC? A13．给出下列四个命题中：

C （第12题） B①命题“?x?R,x2?1?3x”的否定是“?x?R,x2?1?3x”；

②“m??2”是“直线(m?2)x?my?1?0与

直线(m?2)x?(m?2)y?3?0相互垂直”的必要不充分条件； A③设圆x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)与坐标轴

有4个交点，分别为A(x1,0),B(x2,0),C(0,y1),D(0,y2)， BOCP则x1x2?y1y2?0；

④关于x的不等式x?1?x?3?m的解集为R，则m?4. 其中所有真命题的序号是 .

14．如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P 在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则?ABP= ；PB?PC? ． 15．已知P为半圆C：?

??x＝cos θ，??y＝sin θ

(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线

OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π

3

.

（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点M的极坐标为__________； （2）直线AM的参数方程为__________．

16．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是__________

三、解答题

17．（本小题满分13分）已知?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、、bc，a?2，向量m?(?1,1)，

n?(cosBcosC,sinBsinC?22)，且m?n． （1）求A的大小； （2）当sinB?cos(7?12?C)取得最大值时，求角B的大小和?ABC的面积．

18．（本小题共13分）已知函数f(x)=lnx?ax+1,a?R是常数． （1）求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （2）证明函数y=f(x)(x?1)的图象在直线l的下方； （3）若函数y=f(x)有零点，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分13分）某次考试中，从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于60分为及格.

（1）从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班学生不及格的概率；

（2）从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人数记为?，求?的分布列及期望.

20．（本小题满分12分）在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC?CD?1.

（1）求证：平面ACD?平面ABC； （2）求二面角C?AB?D的大小；

（3）若直线BD与平面ACD所成的角为30?，

求线段AB的长度.

21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，△MF1F2的面积为4，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，△ABF2的周长为82. （1）求此椭圆的方程；

（2）若N是左标平面内一动点，G是△MF1F2的重心，且GF2.ON?0，求动点N的轨迹方程；

（3）点P审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求PQ.PR的最小值.

22．设an是函数f(x)＝x3＋n2x－1(n∈N*)的零点．

（1）证明：0

.

高三理科数学模拟题（四）参考答案 DBCAC DCBCD 11．?2 12．

22 13．（1），（2），（3），（4） 14．30 12 π??

x＝1＋?π15．(1)?π

?3，3??

(2)

??6－1??t，16. (－∞，－5]∪[－3，＋∞)

??y＝

3π

6

t

17．答案：（1）因为m?n，所以?cosBcosC?sinBsinC?22?0 即cos?B?C???22，因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA 所以 cosA?22A,??4． 4分

（2）由A???4,C?34?B， 故sinB?cos(7??12?C)?sinB?cos(B?6)?32sinB?3?2cosB?3sin(B?6) 由B?(0,3?4)，故3sinB?cos(C???4)最大值时，B?3． 8分 由正弦定理，

asinA?bsinB?2，得b?3 故

12absinC?62sin(?4??3)?3?34． 12分 18.（本小题共13分） （1）f?(x)=1x?a …………………2分 f(1)=?a+1，kl=f?(1)=1?a，所以切线 l 的方程为

y?f(1)=kl(x?1)，即y=(1?a)x． …………………4分

（2）令F(x)=f(x)?(1-a)x=lnx?x+1，x>0，则F?(x)=1x?1=1x(1?x)， 解F?(x)=0得x=1.x (0 , 1) 1 (1 , ??) F?(x) ? 0 ? F(x) ↗ 最大值 ↘ F(1)<0，所以?x>0且x?1，F(x)<0，f(x)<(1?a)x，

即函数y=f(x)(x?1)的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （3）y=f(x)有零点，即f(x)=lnx?ax+1=0有解，a=lnx+1x . 令 g(x)=lnx+1x，g?(x)=(lnx+11?(lnx+1)lnxx)?=x2=?x2， 解g?(x)=0得x=1. ……ks5u…11分

则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+?)上单调递减， 当x=1时，g(x)的最大值为g(1)=1，

所以a?1. …………………13分

20.解：（1）证明: CD?ABC,D?BC，?CD?平面ABC.

又?CD?平面ACD，?平面ACD?平面ABC. （2）设AB?a,建立如图所示的空间直角坐标系

则B(0,0,0)，A(0,0,a),C(0,1,0)，D(1,1,0),BD?(1,1,0)，BA?(0,0,a) ,平面ABC的法向量CD?(1,0,0). 设平面ABD的一个法向量为n ?(x,y,z)，

BD? n ?x?y?0，BA? n ?az?0，z=0,取y?1，则x??1，? n ?(?1,1,0). ?cos?CD , n ??CD? nCD?|n|??22，?二面角C?AB?D的大小为45?. （3）AC?(0,1,?a)，CD?(1,0,0)，BD?(1,1,0).

设平面ACD的一个法向量是m ?(x',y',z')，则AC?m ?y'?az'?0，CD?m ?x'?0

令z'?1,y'?a，则m?(0,a,1)，?直线BD与平面ACD所成角为30?，

?cos?BD,m??BD?ma=1.

BD.|m|?a2?1?2?cos60?，∴AB?a1）由题意设椭圆的方程为x2y221．解：（a2?b2?1(a?b?0)，因为M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与

椭圆交于A,B两点，?MF1F2的面积为4，?ABF2的周长为82 所以 4a?82,12?b?2c?4,???bc?4,2?c2?8,?b?c?2,a?22, ?b所以，所求的椭圆方程为x2y28?4?1. ……………………4分 （2）设N(x,y)，则由（Ⅰ）得F1(?2,0),F2(2,0),所以G(x3,y3)， 从而GFxy2?(2?3,?3), ON?(x,y)．因为GF2?ON?0,

所以有(2?x3,?y3)?(x,y)?(2?xy3)x?(?3)y?0, 即x2?y2?6x?0, 由于G是?NF1F2的重心，即N,F1,F2应当是一个三角形的三个顶点，

因此所求动点N的轨迹方程为x2?y2?6x?0(y?0). ………………7分 （3）由（2）知动点N的轨迹方程为x2?y2?6x?0(y?0)，即(x?3)2?y2?9(y?0)． 显然此轨迹是以点C(3,0)）为圆心，半径r?3的圆除去两点(0,0),(6,0)剩余部分的部分曲线． 设P(m,n)，则根据平面几何知识得|PQ|?|PR|?|PC|2?r2?(m?3)2?n2?9. cos?PQ,PR??cos2?QPC?1?2sin2?QPC?1?2?(r|PC|)2?1?18(m?3)2?n2, ………10分

从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

PQ?PR?|PQ|?|PR|cos?PQ,PR??[(m?3)2?n2?9]?[1?18(m?3)2?n2]

?[(m?3)2?n2]?162(m?3)2?n2?27?2162?27?182?27.当且仅当(m?3)2?n2?92时，取“?” （※） …………………………12分

由点P(m,n)在椭圆x28?y24?1上（非短轴端点），并且在圆(x?3)2?y2?9外，3?|PC|?3?22但|PC|?|MC|?13?(m?3)2?n2?(9,13)?(13,17?122]

由于92?(9,13)，所以条件（※）的要求满足．

因此PQ?PR的最小值为182?27. …………………………13分

22．证明：（1）因为f(0)＝－1<0，f(1)＝n2>0，且f(x)在R上的图像是一条连续曲线， 所以函数f(x)在(0,1)内有零点． 因为f′(x)＝3x2

＋n2

>0， 所以函数f(x)在R上单调递增．

所以函数f(x)在R上只有一个零点，且零点在区间(0,1)内． 而an是函数f(x)的零点，所以0

因为a32323

1n＋nan－1＝0，由(1)知0n2＋1. 因为a1111

n>n2＋1≥nn＋＝n－n＋1

，

可知1??11??11??1－1?＝1－1＝n. 所以a1＋a2＋…＋an>?1－＋－＋－＋…＋

?2??23??34??nn＋1?n＋1n＋1再证明右边的不等式： 当n＝1时，f(x)＝x＋x－1.

1131333331113

由于f??＝??＋－1＝－<0，f??＝??＋－1＝>0，所以

?2??2?2?4??4?486424

2

由(1)知0

3

1－a3n1所以an＝2<2.

nn

1111

因为当n≥2时，2<＝－，

nn－nn－1n

3111??11??1－1?＝1＋1－1<3.

所以当n≥2时，a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an<＋2＋?－＋－＋…＋

?n－1n?42?23??34?2n23*

所以当n∈N时，都有a1＋a2＋…＋an<. 2综上所述，

n3