因式分解培优专题（一）

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5x?3y的式子，即可求出结果。

初三数学因式分解培优专题（一）

一、用提公因式法把多项式进行因式分

解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】 1.把下列各式因式分解 （1）?a2xm?2?abxm?1?acxm?axm?3 （2）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a) 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，是(a?b)2n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2.利用提公因式法简化计算过程 例：计算123?987?268?987?456?987?521?987 1368136813681368解：

4.在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：

5、中考点拨：

例1。因式分解3x(x?2)?(2?x)

解：

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式：4q(1?p)3?2(p?1)2 解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三： 1、分解因式： （1）?4m2n3?12m3n2?2mn （2）a2xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1（n为正整数） （3）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a)2 2.计算：(?2)11?(?2)10的结果是（） A.2100 B.?210 C.?2 D.?1 3.已知x、y都是正整数，且

，求x、y。 x(x?y)?y(y?x)?124.证明：817?279?913能被45整除。 二、运用公式法进行因式分解

【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有： 平方差公式 a2?b2?(a?b)(a?b) 完全平方公式 a2?2ab?b2?(a?b)2 立方和、立方差公式 a3?b3?(a?b)?(a2?ab?b2) 补充：欧拉公式：

特别地：（1）当a?b?c?0时，有a3?b3?c3?3abc （2）当c?0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌

分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：

3.在多项式恒等变形中的应用

2x?y?3例：不解方程组???5x?3y??2(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值。

，求代数式

分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和

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握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】

1.把a2?2a?b2?2b分解因式的结果是（） A.(a?b)(a?2)(b?2) B.(a?b)(a?b?2) C.(a?b)(a?b)?2 D.(a2?2b)(b2?2a) 分析：

111例1.已知： a?m?1，b?m?2，c?m?3，22求a2?2ab?b2?2ac?c2?2bc的值。

2解：

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

333222222例2.已知a?b?c?0，a?b?c?0， a?2a?b?2b?a?2a?1?b?2b?1?(a?1)?(b?1)。

再利用平方差公式进行分解，最后得到

(a?b)(a?b?2)，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2x3?x2?m有一个因式是2x?1，求m的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。

解： 3.在几何题中的应用。 例：已知a、b、c是?ABC的三条边，且满足a2?b2?c2?ab?bc?ac?0，试判断?ABC的形状。 分析：因为题中有a2、b2、?ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把?ab转成?2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：

4.在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：

5、中考点拨： 例1：因式分解：x3?4xy2?______________________。

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。 例2：分解因式：2x3y?8x2y2?8xy3?______________________。 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示： 精心整理

求证：a5?b5?c5?0 证明： 说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得

证。 例3.若x3?y3?27，x2?xy?y2?9，求x2?y2的值。 解： 说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。 举一反三： 1.分解因式： （1）(a?2)2?(3a?1)（22）x5(x?2y)?x2(2y?x) （3）a2(x?y)2?2a(x?y)3?(x?y)4

2.已知：x?1x??3，求x4?1x4的值。 3.若a，b，c是三角形的三条边，求证：a2?b2?c2?2bc?0 4.已知：?2???1?0，求?2001的值。

5.已知a，b，c是不全相等的实数，且abc?0，a3?b3?c3?3abc，试求 （1）a?b?c的值； （2）a(1?1)?b(1?1)?c(1bccaa?1b)的值。

因式分解练习题 1、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m=_________。 2、x2?(_____)x?2?(x?2)(x?_____)

3、已知1?x?x2???x2004?x2005?0,则x2006?________.

4、若16(a?b)2?M?25是完全平方式M=_______。

x2?6x??__??(x?3)2x2??___??9?(x?3)2， 5、若9x2?k?y2是完全平方式，则k=_______。 6、若x2?4x?4的值为0，则3x2?12x?5的值是____________。

7、若x2?ax?15?(x?1)(x?15)则

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a=____________。

x?y?4,x2?y2?68、若则

xy?_______________。

9、方程x2?4x?0，的解是____________________。 二、选择题：（10分） 1、多项式?a(a?x)(x?b)?ab(a?x)(b?x)的公因式是（）

A、－a、B、?a(a?x)(x?b)C、a(a?x)D、?a(x?a) 2、若mx2?kx?9?(2x?3)2，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、 3、下列名式x2?y2,?x2?y2,?x2?y2,(?x)2?(?y)2,x4?y4中能用平方差公式分解因式的有（） A、1个，B、2个，C、3个，D、4个 4、计算(1?12)(1?13)?(1?12)(1?12)的值是（） 2391011111B、 ,C.,D.2201020三、分解因式：（30分） 1、x4?2x3?35x22、3x6?3x2 3、25(x?2y)2?4(2y?x)24、x2?4xy?1?4y2 5、x5?x6、x3?1 9x4?36y2 x4?18x2?819、7、3ax2+6axy+3ay28、四、代数式求值（15分） 1、已知2x?y?1，求2x4y3?x3y4的值。 xy?2，A、

32、若x、y互为相反数，且(x?2)2?(y?1)2?4，求x、y的值 3、已知a?b?2，求(a2?b2)2?8(a2?b2)的值 五、计算：（15） 3?1??1?（1）0.75?3.66??2.66（2）??? ???4?2??2?（3）2?562?8?56?22?2?442 六、试说明：对于任意自然数n，(n?7)2?(n?5)2都能被动24整除。

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