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1?y?z?0由? 令z2?111??x?y?z?022?2?2 得 n1?(3,?1,2)
?同理平面CEF的法向量为n2?(1,?3,?2)由cos?n1,n2???1
7???所以二面角A?EF?C的余弦值是1 -------12分
7
20.解：(1)设圆M的方程为(x?a)?(y?b)?r222
(r?0)
?a?1?a??1?a2?b2?r2???由已知可得: ?a?b ,解方程组得: ?b?1或?b??1
???a2?1?r2r?2??r?2?所以, 圆M的方程为(x?1)?(y?1)?2或(x?1)?(y?1)?2-----6分
2222(2)当圆M的方程为(x?1)?(y?1)?2时,
22圆心M到直线y?x?8的距离为: d?1?1?822?42
同理, 当圆M的方程为(x?1)?(y?1)?2时,
2圆心M到直线y?x?8的距离也为: d?42
x?8距离的最小值为42?2?32 -------12分
所以, 点N到直线y?
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21.解 解法1：(1)证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点， ∴OE∥AC1，
又∵EO?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1， ∴OE∥平面AB1C1. -------4分 (2)∵AO⊥平面A1B1C1， ∴AO⊥B1C1，
又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O， ∴B1C1⊥平面A1C1CA， ∴A1C⊥B1C1.
又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形， ∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面AB1C1，
∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°. ------8分 (3)∵O是A1C1的中点，AO⊥A1C1， ∴AC1＝AA1＝2，
又A1C1＝AC＝2，∴△AA1C1为正三角形， ∴AO＝3，又∠BCA＝90°， ∴A1B1＝AB＝22，
设点C1到平面AA1B1的距离为d，
111
∵VA－A1B1C1＝VC1－AA1B1，即·(·A1C1·B1C1)·AO＝·S△AA1B·d.
323又∵在△AA1B1中，A1B1＝AB1＝22， 221
∴S△AA1B1＝7，∴d＝，
7
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∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为
21
. -------12分 7
解法2：∵O是A1C1的中点，AO⊥A1C1， ∴AC＝AA1＝2，又A1C1＝AC＝2， ∴△AA1C1为正三角形， ∴AO＝3，又∠BCA＝90°， ∴A1B1＝AB＝22，
13
如图建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0,0，3)，A1(0，－1，0)，E(0，－，)，
22C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2，3)．
13→→
(1)∵OE＝(0，－，)，AC1＝(0,1，－3)，
221→→
∴OE＝－AC1，即OE∥AC1，
2
又∵EO?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1， ∴OE∥平面AB1C1. -------4分 →→
(2)∵AB1＝(2,1，－3)，A1C＝(0,3，3)， →→
∴AB1·A1C＝0， 即∴AB1⊥A1C，
∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°. -------8分 →
(3)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，A1C1＝(0,2,0)，
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→→
A1B1＝(2,2,0)，A1A＝(0,1，3)，
设平面AA1B1的一个法向量是n＝(x，y，z)， →??A1B1·n＝0，则?
→??A1A·n＝0，
?2x＋2y＝0，
即?
?y＋3z＝0.
不妨令x＝1，可得n＝(1，－1，
3
)， 3
21＝，
773
21
. -------12分 7
2→
∴sinθ＝cos〈A1C1，n〉＝
2·
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为
22. 解：（1）直线L：bx?ay?ab?0，
由题意得：e?c3ab25222 又有a?b?c， ?,?a25a2?b22解得：a2?4,b?1椭圆的方程为
x24?y2?1. ——5分
（2）若存在，则EM?EN，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则：
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