3．2.2 复数代数形式的乘除运算
填一填
1.复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律
对任意复数z1、 z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2.共轭复数 (1)如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数．z为共轭复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.
(2)复数与共轭复数的乘法性质 zz＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
3．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z1a＋biac＋bdbc－ad则＝＝＋i(c＋di≠0). z2c＋dic2＋d2c2＋d2
判一判 1.两个复数的积与商一定是虚数．(×) 2．两个共轭复数的和与积是实数．(√)
3．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(√) 4．两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(×) 5．设z是复数，若z2≥0，则z是实数．(√)
26．若z1，z2∈C，且z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(×)
7．两个复数相乘的结果可能为实数．(√) 8．两个共轭复数的差为纯虚数．(√)
想一想 1.怎样进行复数的乘法？ 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
2．如何理解复数的乘除法运算法则？
复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
3．共轭复数有哪些性质，这些性质有何作用？
(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数． (3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 4．复数形式的基本轨迹有哪些？
(1)|z－z1|＝r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数z1对应的点为圆心，r为半径的圆．
(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线．
(3)|z－z1|＋|z－z2|＝2a(a>0)，当2a>|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆；当2a＝|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2对应点Z1，Z2为端点的线段；当2a<|Z1Z2|时，无轨迹．
(4)||z－z1|－|z－z2||＝2a(a>0)当2a<|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的双曲线；当2a＝|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2对应点Z1，Z2为端点的射线；当2a>|Z1Z2|时，无轨迹．
感悟体会
练一练 1.已知i2＝－1，则i(1－3i)＝( ) A.3－i B.3＋i
C．－3－i D．－3＋i
解析：i(1－3i)＝i－3i2＝3＋i，故选B. 答案：B
2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( ) A．5 B.5 C．3 D.3
解析：∵z＝2－i，∴z＝2＋i，∴z·z＝(2－i)·(2＋i)＝4－i2＝5，故选A. 答案：A
23．已知i是虚数单位，若复数z满足z＝，则z＝( )
i－1
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
2?i＋1?2i＋22
解析：z＝＝＝2＝－1－i，故选A.
i－1?i－1??i＋1?i－1答案：A
a
4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
b
??1＋b＝a，
解析：由(1＋i)(1－bi)＝1－bi＋i－bi＝(1＋b)＋(1－b)i＝a，得?解得
1－b＝0，??
2
??a＝2，a
∴＝2. ?b
??b＝1，
答案：2
知识点一 复数代数形式的乘法运算 1.设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i
解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.故选C. 答案：C
2．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于( ) A．－3 B．3 C．－3i D．3i
解析：∵z＝1＋2i，∴z2－2z＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i＋2i2－2－22i＝－3，故选A.
答案：A
知识点二 共轭复数 3.若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________. 解析：∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，x，y∈R，
???x－2＝3x，?x＝－1，∴?解得? ???y＝1，?y＝1，
答案：－1 1
4．设a，b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－12i，求a，b的值． 解析：设a＝x＋yi(x，y∈R)，则b＝x－yi， ∴a＋b＝2x，ab＝x2＋y2， 又(a＋b)2－3abi＝4－12i， ∴4x2－3(x2＋y2)i＝4－12i， 由复数相等的性质知
2??4x＝4，
?
2＋y2?＝－12，－3?x??
?????x＝1，?x＝1，?x＝－1，?x＝－1，解得?或?或?或?
?????y＝3，?y＝－3，?y＝3，?y＝－3.
????a＝1＋3i，?a＝1－3i，?a＝－1＋3i，∴?或?或?
b＝1－3i，b＝1＋3i，b＝－1－3i，????????a＝－1－3i，或? ??b＝－1＋3i.
知识点三 复数代数形式的除法运算 5.已知i为虚数单位，若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为( ) 33A. B．－ 5533C.i D．－i 55
－1－3i133解析：由题可得z＝＝＝＝－－i，所以复数z的虚部为－，55551＋2i?1＋2i??1－2i?
1－i
?1－i??1－2i?
故选B.
答案：B
3＋2i3－2i
6．计算：(1)－. 2－3i2＋3i
?1＋i?7?1－i?7?3－4i??2＋2i?3(2)＋－. 1－i1＋i4＋3i3＋2i3－2i解析：(1)方法一：－
2－3i2＋3i?3＋2i??2＋3i?－?3－2i??2－3i?＝
?2－3i??2＋3i?＝
6＋13i－6－6＋13i＋626i
＝＝2i. 134＋9
3＋2i3－2ii?2－3i?－i?2＋3i?
方法二：－＝－＝i＋i＝2i.
2－3i2＋3i2－3i2＋3i
1＋i1－i8?3－4i??1＋i?2?1＋i?
(2)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
1－i1＋i?3－4i?i8·2i?1＋i?
＝8＋8－16－16i＝－16i. i
综合知识 复数代数形式的乘除运算综合应用 7.已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
1－i?1－i?2－2i
解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝＝＝＝－i，∴z1＝2－i，
21＋i?1＋i??1－i?依题意，可设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2是实数，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
8．已知a为实数，复数z1＝2－i，z2＝a＋i(i为虚数单位)． (1)若a＝1，指出z1＋z2在复平面内对应的点所在的象限； (2)若z1·z2为纯虚数，求a的值．
解析：(1)因为a＝1，所以z1＋z2＝(2－i)＋(1－i)＝3－2i， 所以z1＋z2在复平面内对应的点为(3，－2)， 从而z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限． (2)z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i， 因为a∈R，z1·z2为纯虚数，
1所以2a＋1＝0，且2－a≠0，解得a＝－.
2
基础达标
一、选择题
1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
解析：A中，由|z1－z2|＝0，得z1－z2＝0，∴z1＝z2，∴z1＝z2，正确；B中，若z1＝z2，则z1＝z2，正确；C中，由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，∴z1·z1＝z2·z2，正确；D中，当|z1|＝|z2|
2222
时，可取z1＝1，z2＝i，则z21＝1，z2＝i＝－1，∴z1≠z2，错误．故选D.
答案：D
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i
解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i＋6i2＝－6＋4i，故选D. 答案：D
11
3．复数＋的虚部是( )
－2＋i1－2i11A.i B. 55
11C．－i D．－ 55
－2－i1＋2i－2－i1＋2i1111解析：＋＝＋＝＋＝－＋i，∴复
5555－2＋i1－2i?－2＋i??－2－i??1－2i??1＋2i?
111数＋的虚部是，故选B.
5－2＋i1－2i
答案：B
|2＋i|＋2i
4．已知i为虚数单位，若复数z＝，则|z|＝( )
i
A．3 B.10 C．9 D．10
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