2.5《平面向量应用举例》导学案
【学习目标】
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。 【导入新课】 回顾提问：
uuuruuuruuurr（1）若O为?ABC重心,则OA+OB+OC=0。
uuur1uuuuuuvuuuvv（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯
2形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？
教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新授课阶段
rrrrrr探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a?b，则|a|?|b|，且a,b所在直线平行
或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行
uuuvruuuvruuuvuuuvuuuvrr中，设＝,＝，则，AC?AB?BC?a?b（平移）baABADABCDv2r2uuuvvuuuvuuuuuuvuuuvuuuvrruuuDB?AB?AD?a?b，AD?b?|AD|2（长度）．向量AD，AB的夹角为?DAB.因此，
通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
夹角等．把运算结果“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用。
例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD．
1
求证：AC?BD?AB?BC?CD?DA． 分析： 证明：
用向量方法解决平面几何问题，主要有下面三个步骤：
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
变式训练：?ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
222222uuuruuurruuurrrrAB?a,AC?b.（1）证明A、O、E三点共线；（2）用a,b表示向量AO。
例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
分析： 解：
2
说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．
探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ （2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？ 向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．
例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析： 解：
通过上面的式子我们发现，当?由0~180逐渐变大时，
oo?oo由0~90逐渐变大，2cos?2的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹
角越小越省力．
请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴?为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？
例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d?500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？
分析： 解：
3
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了。
例5 已知|a|?2 |b|?3,a与b的夹角为60,c?5a?3b,d?3a?kb,当实数k为
o
何值时，⑴c∥d？⑵c?d？
例6 如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF； ②PA⊥EF.
9⑴若c∥d，得k?；
5 ⑵若c?d，得k??29. 14例7 如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点， 求证：PA+PB+PC+PD=8r.
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