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3.讨论

若x(n)为N点有限长序列，其DTFT及DFT分别是:

X(ej?)?显然,当??n?????x(n)e?jn?，X(k)?n?????x(n)e?j2?nkN

2?2?的整数倍k时，两者是相等的，这说明DFT是对离散时间序列在频域以

NN频率上的抽样。即DFT是对DTFT的频率离散化的结果，从图中可以看出，实验结果与理论分析一致。从实验还可以看出：在时域内增加序列的长度(“补零”以增大周期)，相当于在频域序列进行插值。这也就是实验现象产生的原因。

实验5 FFT算法的应用

(1)2N点实数序列

2?12????cos(7n)?cos(19n),n?0,1,2,...,2N?1?x(n)??? N2N??0,其它n??N=64。用一个64点的复数FFT程序，一次算出X(k)出

?DFT[x(n)]2N，并绘

X(k)。

(2) 已知某序列

X(zk)?X(k)?_x(n)在单位圆上的N=64等分样点的Z变换为

N点IFFT程序计算

1,k?0,1,2,...,63。用

1?0.6e?j2?k/N_x(n)?IDFT[X(k)]，绘出和x(n)。

1.程序 1）N=64;

n=[0:2*N-1];

xn1=cos(2*pi/N*7*n)+1/2*cos(2*pi/N*19*n); xk1=fft(xn1); xk2=abs(xk1); stem(n,xk2); xlabel('k'); ylabel('x(k)')

2)

N=64; n=[0:N-1];

xk=1./(1-0.8.*exp(-j*2*pi*n/N)); xn=fft(xk,N); stem(n,xn); xlabel('k'); ylabel('x(n)')

3.讨论

从2N点FFT结果可以看出，频域序列X(k)含有4条谱线，但事实上只对应有两个不同的频率（根据奈奎斯特采样定理，另外两条谱线没有实际意义），即f=7Hz和f=19Hz，但从图1中却观察到，|X(k)|在f=14Hz和f=38Hz处有不为零频谱分量，且为给出的离散时间信号x(n)所含的对应频率的两倍。另外，虽然序列x(n)总共有2N=128点，但实际上从n=64到127这N点是对上一个周期的重复，由于计算FFT时只需要一个完整周期的信号即可，而2N点的FFT用的序列x(n)在时域却有两个周期，因此出现了“频谱移动”的现象。从而实际的不为零的频率分量应为f=14/2=7Hz，f=38/2=19Hz。