＝43sin?
?5π－θ?，
?
?6?
π33?5π－θ?＝243sin
＝OA·OC＝×43sin θ×43sin??622?6?
∴a·c＝|a||c|cos
θ·?sin
?
?
5π5π2
cos θ－cossin θ?＝123sin θcos θ＋36sinθ＝63sin 2θ＋?66?
π?1－cos 2θ?36·＝63sin 2θ－18cos 2θ＋18＝123sin?2θ－?＋18.
3?2?ππ5π
∴当2θ－＝，即θ＝时，a·c有最大值为123＋18.
3212答案
π
123＋18 6
三、解答题
?π?13.设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.
2??
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝(cos x)＋(sin x)＝1， 及|a|＝|b|，得4sinx＝1.
1π?π?又x∈?0，?，从而sin x＝，所以x＝.
2?26?(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx ＝
π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋，
6?2222?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.
2?6?3??3
所以f(x)的最大值为.
2
14.△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行. (1)求A；
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3，
13
π
由于0＜A＜π，所以A＝.
3
(2)法一 由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A， π2
而a＝7，b＝2，A＝，得7＝4＋c－2c，
3即c－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3， 133
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝. 2272
法二 由正弦定理，得＝，
πsin Bsin 3从而sin B＝
21
，又由a＞b，知A＞B， 7
2
2
2
2
27
所以cos B＝，
7
?π?故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋?
3??
ππ321
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
3314133
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
22
15.(2018·金华一中模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝π
，a＋b＝λc(其中λ>1). 3
(1)若λ＝3，证明：△ABC为直角三角形； →→92
(2)若AC·BC＝λ，且c＝3，求λ的值.
8(1)证明 ∵λ＝3，∴a＋b＝3c， 由正弦定理得sin A＋sin B＝3sin C， π?2π?3∵C＝，∴sin B＋sin?－B?＝，
3?3?2即sin B＋
313
cos B＋sin B＝， 222
3333?π?∴sin B＋cos B＝，则sin?B＋?＝，
6?2222?πππ2π
从而B＋＝或B＋＝，
6363
14
解得B＝π6或B＝π
2
.
若B＝π6，则A＝π
2，△ABC为直角三角形；
若B＝π
2，△ABC亦为直角三角形.
(2)解 若→AC·→BC＝9198λ2
，则2a·b＝28λ，
∴ab＝92
4
λ.
由余弦定理知a2
＋b2
－c2
＝2abcos C， 即a2
＋b2
－ab＝c2
＝9，即(a＋b)2
－3ab＝9， 又a＋b＝3λ，故9λ2－2724λ＝9，解得λ2
＝4，又λ>1，∴λ＝2.
15
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