第一章 常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1．1.1 命 题
[提出问题] 观察下列语句：
(1)三角形的内角和等于360°.
(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？ (3)这是一棵大树呀！ (4)实数的平方是正数．
(5)能被4整除的数一定能被2整除． 问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？ 提示：(1)(4)(5)．
问题2：你能判断它们的真假吗？ 提示：能，(5)真，(1)(4)为假． [导入新知]
????真命题：判断为真的语句命题?分类：?
??假命题：判断为假的语句
??形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论
定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
[化解疑难]
1．判断一个语句是命题的两个要素：
(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； (2)可以判断真假．
2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的判断 [例1] 判断下列语句是不是命题，并说明理由． π
(1)是有理数； 3(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2－x＋7＞0.
π
[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
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x－?2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题． (4)因为x2－x＋7＝??2?4[类题通法]
判断语句是不是命题的策略
判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．
[活学活用]
判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x＞3.
解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题． (2)是陈述句，能判断真假，是命题． (3)不是陈述句，不是命题．
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
判断命题的真假 [例2] 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1＜0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列． [类题通法]
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． [活学活用]
下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
命题的结构形式 [例3] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数；
(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题． (2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题． [类题通法]
(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件
写在前面，结论写在后面．
(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．
1.命题条件不明致误
[典例] 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a2＞b2”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．
[解] 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a2＞b2. 其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2. [易错防范]
1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．
2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
[成功破障]
把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式． 解：“若p，则q”的形式： 已知a，b为正数，
若a＞b，则log2a＞log2b.
[随堂即时演练]
1．下列命题中是真命题的是( ) A．若ab＝0，则a2＋b2＝0 B．若a＞b，则ac＞bc C．若M∩N＝M，则N?M D．若M?N，则M∩N＝M
解析：选D A项中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；C项中，M∩N＝M说明M?N.故选项A、B、C皆错误．
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析：选B a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．
3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．
答案：函数为y＝2x＋1 该函数是增函数 4．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②二次函数的图象与x轴有公共点； ③平行四边形是梯形； ④若ac＞bc，则a＞b.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④
5．已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
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