1.1质点运动的基本概念 运动的合成和分解
一、图像法
例1、蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反此，当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm／s，试问：蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少?
例2、已知一质点做变加速运动，初速度为v0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a0-ks，式中a为任意位置处的加速度，求当位移为s0是瞬时速度。
二、矢量运算
1、矢量加法（矢量合成） （1）平行四边形法则
已知两个矢量F1和F2的大小和夹角，求合矢量F合的大小和方向。
F?F12?F22?2F1F2cos?
tan??F2sin?
F1?F2cos?（2）三角形法则和多边形法则（接龙法则）
（3）矢量式的脚标的接龙法则
例如，人在车厢内走动，人相对于地的速度等于人相对于车的速度加上车相对于地的速度。
v人地=v人车+v车地
（4）矢量减法
将减法变为加法然后再利用接龙法则。
例3：(1)无风的下雨天，小明坐在匀速行驶的车上，发现雨滴沿斜线下落，且与竖直方向成30?夹角，若车速为10m/s，则雨滴下落的速度为多大？
(2)小明坐在以10m/s向东匀速行驶的车上，发现雨滴是竖直下落的，若雨滴对地速度为20m/s，则雨滴实际上是如何下落的？
三、运动的合成和分解
实例1：平抛运动
实例2：滚动的车轮边缘上一个点的运动
1、运动合成和分解其实就是位移、速度、加速度的合成和分解 2、合运动的效果和若干个分运动的总效果相同（等效性）
3、实际观察到的运动是合运动，分运动是人们为了方便研究而假想出来的。
四、运动分解的方法 1、按效果分解
2、正交分解：建立直角坐标系，将运动（位移、速度、加速度）分解在坐标轴方向。
例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度。
例5、如图所示，质点A和质点B同时从A、B两点出发，分别以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做匀速直线运动，BC和AB的夹角为α．开始时质点A和质点B相距为l，试求两质点之间的最短距离．
例6、如图所示，几辆相同的汽车以等速度v，沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，前后两车头尾间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间是多少？
例7、有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从边长为l的正五边形A 1A2A3A4A5的五个顶点出发，以相同速率v适动，如图所示．运动中A1始终朝着A3、，A3始终朝着A5，A5始终朝着A2，A2始终朝着A4，A4始终朝着A1，问：经过多长时间五人相聚?
五、物体系统的运动学连接条件
1、刚性杆、绷紧的不可伸长的绳上，各点在同一时刻，具有相同的沿杆、绳的分速度。 2、两个接触的物体，在接触面法线方向的分速度相同；切向的分速度在无相对滑动的情况下，也相同。 3、线状交叉物交叉点的速度是两物体沿对方切向运动的分速度的矢量和。
如右图，AB两杆沿自己方向的分运动，对交点运动没有贡献；沿对方方向的分运动，使交点运动。
注意：以上规律均为速度的连接条件，对加速度不一定适用！
例8、杆在光滑墙角处下滑，求A、B两点的速度大小关系（已知此时AB、AC的长度分别为l1、l2）
例9、合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：2：l，顶点A3以速度v沿水平方向向右移动．求当构件的所有角都为直角时，顶点A1、A2、B2的速度．
例10、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M的速度。
例11、一个半径为R的环（环心为O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O1）以速度v从前一环的旁边经过。试求当两环环心相距为d（2R大于d大于0）时，求两环上部的交点A的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。
1.2圆周运动
一、匀速圆周运动 1、基本物理量
半径r、线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度an、向心力Fn 2、物理量之间的关系
v??r
T?1f
n?f
2?r?2?rf?2?rnT 2????2?f?2?nT v?v24?22Fn=man?m?m?r=m2rrT
例1、半径为R的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速
度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱上与板接触的A点的加速度是多少？
例2、如图一半径为R的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变的速度vo在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高的P点的瞬时速度和加速度．
例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B后，以恒定速度v0被拉出，如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。（线轴的内、外半径分别为r和R）
二、变速圆周运动
速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。可以加速度分解为半径方向的向心加
速度an和切线方向的切向加速度at。向心加速度an改变速度方向，切向加速度at改变速度大小。此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。
dvd??r dtdt
at=?r
例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度和加速度。
例5、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M的速度和加速度。
例6、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所
示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v，求此时竖直杆运动的速度和加速度。
例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
三、一般曲线运动
1、基本方法：将一小段曲线近似为圆的一段弧，圆的半径即为曲线该点的曲率半径ρ。
an?v2?
这也是求曲线曲率半径的物理方法。 2、等距螺线运动
xy平面内的分运动为匀速圆周运动，z方向为匀速直线运动。
运动轨迹可以类比弹簧。
例8、一个直径为D的圆柱体侧面刻有螺距为h的螺旋形凹槽，槽内有一个小球。为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在固柱体侧面的绳子(设绳于与圆柱体侧面不打滑)？
例9、采用物理方法确定等距螺旋线上任意一点处的曲率半径。（设截面半径为R，螺距为h）
例10、机车以等速率v0沿直线轨道行驶．机车车轮半径为r，设车轮只滚动不滑动．将轮机缘上的点M在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为x轴．如图所示，求M点的运动轨迹方程以及轨迹最高点处的曲率半径，并求当M点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度．
1.3抛体运动
一、抛体运动的分解
1、平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 2、斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
斜抛运动也可以看成沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
在斜面问题中，斜抛运动经常看成沿斜面的匀变速直线运动和垂直于斜面的匀变速直线运动。
例1、在倾角为α的下面顶端P点以初速度V水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q点，求：①小球在空中运动的时间以及P、Q间的距离②小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？最大距离是多少？
例2、倾角为α的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速为v，抛出方向与斜面成β角，α+β<π/2．
(1)若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n满足的关系式． (2)若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后的值是碰前值的e倍．0 e-2e+1=0 二、斜抛运动的性质 1、运动轨迹方程 2、射高、最大射高，射程、最远射程 射高： 最大射高： 射程： 最远射程： 例3、一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流．这些水射流以与地面成00～900的所有角度喷出，竖直射流可高达2 .0m，如图所示．取g=10m／s2，试计算水射流在水池中落点所覆盖的圆的半径． 例4、从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α(O<α<π／2)．若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板倾角θ为恰当值时(0<θ<π／2)，甲球恰好能回到A点．另有一个小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞．试讨论v0，α，θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点? 3、包络线方程 例5、初速度为v0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求空间安全区域的边界方程． 4、曲率半径 例6、求抛物线y=kx2任意位置x0处的曲率半径。 5、极值问题 例7、大炮在山脚直接对着倾角为α的山发射炮弹．炮弹初速度为v0，要在山坡上达到尽可能远的射程．则大炮的瞄准角应为多少?最远射程有多少? 例8、从A点以的初速度v0抛出一个小球，在离A点水平距 v0离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。问 小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小？ A θ s B h C 例9、一仓库高25 m，宽40 m．今在仓库前l m、高5 m的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度v0之值最小？（g取10 m/s2） l 1.4运动学综合题 例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成?角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为?，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的速度 例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线? 例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为Td，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦） 例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值． 例5、狐狸以速率v1沿直线L匀速奔跑，一只猎犬以速率v2追赶狐狸。某时刻，猎犬与狐狸相距L，猎犬的速度与狐狸的速度垂直，猎犬在追击过程中运动方向始终对准狐狸，求猎犬追上狐狸所需的时间。 例6、在顶角为2α的圆锥形小槽内，小球在槽壁上跳动，并发生弹性反跳．球与壁碰撞点位于同一高度．相邻两次碰撞的时间恒定且等于T。如果球最大速度介于gT/2与gT/(2simα)之间，问：球围绕槽轴跳动的平均角速度等于多少? 例7、一人做射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面的同一圆周上，试加以证明。已知水平线离地面高度为h，枪与靶相距d，子弹发射速率为v0。 例8、喷灌用的喷头如图所示，球面上分布有孔径相同的小孔，用以喷出水柱．球面半径为r，小孔相对于对称轴的极角θ的分布范围为：O≤θ≤θ0=π/4．为使喷到大地的水柱能均匀分布(得到均匀灌溉)+求喷头球面上单位面积小孔数的分布．即小孔数密度n的表达式．(设喷头在球面上，但球面离地的高度可不计) 4.1功和功率 一、功 1、力的瞬时效应：加速度a，改变速度v 力的积累效应：力在空间上的积累效应：功W，改变能量E 力在时间上的积累效应：冲量I，改变动量p 2、功的计算：力乘以力的方向上的位移 W?F?l?Flcos? 两种理解方式： （1）分解力： W?(Fcos?)l s )（2）分解位移： W?F(lco?3、如何准确判断位移 方法1：质点（物体）的位移 方法2：力的作用点的位移 例1、一木块前端安有一滑轮，绳的一端系在右方墙上，另一端穿过滑轮用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，当用力拉绳使木块前进S时，如图所示。力F做的功(不计绳重和摩擦)是多少？ 例2、在半径为R的圆柱体上绕一根轻绳，用水平恒力拉动轻绳，使圆柱在水平面上滚动，圆柱与地面、轻绳与圆柱间均无滑动。求滚动一周过程中拉力所做的功。 例3、黑板擦在黑板上移动了距离为s，求摩擦力f 对黑板擦和黑板做功分别是多少？ 4、变力做功问题 （1）利用F-s图像来求解 F-s图像为力和力方向上的位移函数图像。 功即为图像与s轴围成的面积。 当力与位移成线性关系时，功可以表示为： W?F?s?F0?Ft?s 2例4、用锤子将铁钉钉入木块中，设每次打击时锤子给予铁钉的能量都相同，铁钉所受的阻力跟钉子进入木块的深度成正比。如果第一次打击时钉子被钉入的深度是2cm，则第二次打击后，总共进入几厘米？ 例5、长度为L的矩形板，以速度v沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为l的粗糙地带，L>l板从开始受阻到停下来，所经过路程为s。求板面与粗糙地带之间的摩擦系数μ。 v 木板 L 例6、在航天飞机上，如图所示，有一长度l=20cm的圆筒，绕着与筒长度方向垂直的轴OO′以恒定的转速n=100r/min旋转。筒的近轴端离轴线距离为d=10cm，筒内装满非常粘稠、密度为ρ=1.2g/cm3的液体。有一质量为m=1.0mg，密度为ρ1= 1.5g/cm3的粒子，从圆筒的正中部静止释放，求粒子到达筒端的过程中，液体粘滞阻力做的功。若粒子密度为ρ2 = 1.0g/cm3，其它条件不变，液体粘滞阻力做的功又是多少？ 地木板 面 s 地面l （2）微元法 适用范围： 复杂物理过程，物理量是非线性变化的。 处理方法： (1)把整个物理过程分成许多小段（微元）； (2)取出其中一个或几个小段进行分析； (3)由于每个微元非常小，可以进行近似处理 “化曲为直”，“化变量为不变量”； (4)把在微元上得出的结论推广到整个物理过程中。经常采用累加求和的方法。 例7、如图所示，将质量为m的物体从山脚缓慢地拉到山顶，且拉力始终与物体所处的坡面平行。已知山高为h，山脚到山顶的水平距离为s，物体与坡面的动摩擦因数为μ，求人对物体所做的功。 例8、一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A处有一质量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球与管的动摩擦因数为μ。忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R 。试求小球从A点运动到B点过程中F做的功。 二、功率 描述做功快慢的物理量叫做功率。 功率的计算： W t?WF?lcos?P???Fvcos? ?t?tP?当v为平均速度时，P为平均功率 当v为瞬时速度时，P为瞬时功率 例9、一只喷灌水枪喷洒半径为12m的农田，已知从4m深井里每分钟抽水80L喷出，试求电动机功率。 4.2动能定理 一、单个质点的动能定理 例1、设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒定外力F（F未知）的作用下，在光滑水平面上发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力F对物体做功的表达式（与速度的关系）。 W?1212mv2?mv1 22功是能量转化的量度，上式右边可以看成是能量的变化（末状态的能量减初状态的能量）。 由于和速度有关，将其定义为动能。 1、动能 1EK?mv2 22、动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化量。 11W合??Ek?mv22?mv12 223、动能定理的优越性： (1)适用于恒力做功，也适用于变力做功。 (2)适用于直线运动，也适用于曲线运动。 (3)适用于单一过程，也适用于全过程（复杂运动）。 *(4)机械能守恒定律是有适用条件的，而动能定理是普遍适用的。 例2、两个质量均为m的小球．用长为2L的轻绳连接起来，置于光滑水平面上，绳恰好处于伸直状态．如图所示．今用一个恒力F作用在绳的中点，F的方向水平且垂直于绳的初始长度方向．原为静止的两个小球因此运动．求：（1）在两个小球第一次相碰前的瞬间,小球在垂直于F作用线方向上的分速度为多大?（2）若干次碰撞后，两球处于接触状态一起运动，求因碰撞损失的总能量。 二、质点系统的动能定理 质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功的代数和。 ?Ek??W外??W内 注意： 系统牛顿第二定律：F=ma，不需要考虑内力。 但是，系统动能定理，不仅需要考虑外力做功，还要考虑内力做功 例3、速度为v1的子弹射入静止在光滑桌面上的木块，子弹受到的阻力为f，子弹未从木块中射出，子弹和木块以共同的速度v2在桌面上运动。子弹射入木块的深度为d，求木块和子弹构成的系统动能的减少量。 三、非惯性系中的系统动能定理 质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功以及惯性力做功的代数和。 ?Ek??W外??W内??W惯 例4：水平地面上的小车以加速度a行驶，车厢中有一物体，相对于车厢以匀速v向前运动，验证非惯性参考系中的动能定理 例5、一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球面顶端。求下列情况下物体离开球面时，离半球面底面的距离h。 （1）半球以10m/s的速度匀速上升 （2）半球面以加速度a=g/2匀加速上升 （3）半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动 四、质心参考系中的动能（柯尼希定理）： 质点系相对某一参考系的动能，等于质心相对该参考系的动能，加上质点系的内动能 内动能：在质心参考系中各质点相对于质心的动能之和 例6：如图，C为质心，vC为质心速度，v‘为两物体相对于质心的速度，验证柯尼希定理。 2、柯尼希定理的严格证明： 设n个质点m1， m2， ……， mn，构成的质点系 ，质心C的速度为vC ，各质点相对于质心的速度为v1‘， v2‘， ……， vn‘ 3、柯尼希定理常用于两质点构成的系统： 设两质点m1， m2，原参考系中速度为v1， v2，质心参考系中速度为v1‘， v2‘ 因此两质点间的相对速度为：u?v1?v2?v1'?v2' 即：v1'?m2m1u，v2'??u m1?m2m1?m2 因此， mm1111m1v12?m2v22?m总vC2??u2，其中，??12称为约化质量。 m1?m22222例7：长为l 的轻质悬线，下端有一质量为M的砂袋，初始静止。 质量为m的子弹以v0的初速度水平射入砂袋，并留在砂袋内，一起绕绳摆动，求最大摆动角 例8：光滑水平面上有一质量为M的小车，车里有一平台，平台上有一质量为m的光滑小球，一根轻质弹簧一端固定在车台壁板上， 弹簧被压缩并用线拖住，小球与弹簧自由端接触。 将小车固定，烧断线后，小球被弹出，飞出的水平距离S1 ，若小车不固定，同样条件下烧断线后，小球弹出后在车内飞出的水平距离S2为多大？ 五、微元法在动能定理中的应用： 例9、如图所示，在容器中距水面深度为h处开一个小孔，在不计水的粘滞阻力的条件下，求水从小孔流出的初速度。 例10、从一个容器里向外抽空气，直到压强为p。从一个容器里向外抽空气，直到压强为p。容器上有一小孔，用塞子塞着。现把塞子拔掉， 有一小孔，用塞子塞着。现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为ρ。 4.5动量守恒定律 碰撞 一、动量守恒定律（可类比机械能守恒定律） 系统的合外力为0时，系统的总动量保持不变。 I?Ft 二、正碰（对心碰撞） 设两物体质量为m1，m2，碰前速度为v10，v20，碰后速度为v1，v2 1、假设碰撞过程中无能量损失（弹性碰撞），满足动量守恒定律和机械能守恒定律 m1v10?m2v20?m1v1?m2v2?? ?11112222mv?mv?mv?mv1102201122??2222(m1?m2)v1??02mv220v??1m1?m2?解得： ? ?v?(m2?m1)v20?2m1v102?m1?m2?几种特殊情况： （1）当两者质量相等时(m1=m2) ，两者交换速度 （2）当一个物体静止时(v10≠0,v20=0)，解得 (m1?m2)v10?v??1m1?m2? ?2mv110?v?2?m1?m2?[1]若m1??m2（撞墙），则v1= -v10，v2=0 [2]若m1??m2（改变参考系，撞墙）则v1= v10，v2=2v10 2、假设碰撞过程中有能量损失（非弹性碰撞）满足动量守恒定律，不满足机械能守恒定律 根据动能损失的多少，定义恢复系数： e?v2?v1 v10?v20恢复系数满足：0?e?1 （1）当e=0时，完全非弹性碰撞，能量损失最大 （2）当0 ?m1v10?m2v20?m1v1?m2v2? v2?v1?e??v10?v20?m2(v10?v2)0?v?v?(1?e)10?1m1?m2?解得： ? ?v?v?(1?e)m1(v20?v10)220?m1?m2?能量损失为：?E?mm11(1?e2)12(v10?v20)2?(1?e2)?u02 2m1?m22质心动能不变， （1）相对动能减为0 e=0 （2）相对动能减为 12e?u02 0 例1、在水平桌面上有一座可以自由地沿桌面滑动的“山”，一辆小车以速度v驶向这座“山”．小车质量为“山”质量的1/3．求当小车最高能爬到多高？ 例2、A、B、C三球质量均为m，可在水平面无摩擦滑动，AB两球在一长为l且不可伸长的绳子两端。当C以速度v向右正中B球，发生完全弹性碰撞，AC长度为0.5l，求 （1）绳子变为绷紧状态后每个球的速度 （2）绳子变为绷紧状态后初动能损失的百分比。 例3、如图所示．质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上。箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦．开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v0从箱子的A壁处向B壁处运动，后与B壁相碰．假定滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，其中e?21． 2（1）要使系统损耗的总动能不超过其初动能的40％，滑块与箱壁最多可碰撞几次? （2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多大? 例4、如图所示．质量分别为m1、m2的两个小球系在长为l的不可伸长的轻绳两端，放置在光滑水平桌面上，初始时绳是拉直的．在桌面上另有一 质量为m3的光滑小球，以垂直于绳的速度u与小球m1对心正碰，若恢复系数为e，求碰后瞬时绳中的张力． 例5、三个质量分别为3m、2m、m的小球A、B、C由两根长度相等的细绳相连．如图所示．放置在光滑水平桌面上．三个小球正好位于正三角形的三个顶点位置．且细绳正好被拉直，现使小球A以速度v0沿平行于BC的方向运动,求细绳刚拉紧时小球C的速度. 三、斜碰（非对心碰撞） 处理方法1：正交分解，列出两个动量守恒方程 例6、质量为M1速度为v0的质点，与一个质量为M2的静止质点做弹性碰撞，如图，碰后，M1、M2的运动方向和v0方向的夹角分别为θ1、θ2，求证： 例7、如图所示，一截面为等腰三角形的棱柱ABC被约束在一光滑平面轨道上，AB边只能沿DE光滑轨道运动．现有一质量与棱柱ABC质量M相同的光滑小球，在与ABC同一水平面内沿垂直于轨道DE的方向以速度v0与处于静止的ABC发生完全弹性碰撞．求碰后它们各自的速度． *处理方法2：在质心系中讨论 例8：初速度为v、质量为m1的球射向质量为m2的静止小球，求发生弹性碰撞时m1的最大散射角 4.6能量动量综合题 例1、如图所示，质量为M小车在光滑的水平面上以v的速度向左作匀速直线运动。一质量为m的小球从高为h处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为h，小球与小车碰撞时，小球受到小车的弹力N>>mg，小球与小车间的动摩擦因数为?，求小球弹起后的水平速度。 例2、长1m横截面积0.3cm2的玻璃管，下端弯成直角，上端接水龙头，如图所示，如果水流的速度为2m/s，水管的质量为80g，求玻璃管偏离竖直方向的角度。 例3、在光滑水平面上放置一个质量为M，截面是1/4圆(半径为R)的柱体A，如图所示，柱面光滑，顶端放一质量为m的小滑块B。初始时刻A、B都处于静止状态，在固定的坐标系xoy中的位置如图所示，设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下，试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程。 例4、质量为M的滑块，可在光滑水平面上无摩擦滑动。用长为l的轻绳挂一质量为m的物体，一开始将绳拉直，并处于水平状态。从静止释放后，求当轻绳与水平面夹角为θ时，绳中的张力。 例5、如图3所示，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中间放有小物体A和B，两者彼此接触。A的上表面是半径为R的半圆形轨道，轨道顶端距台面的高度为h处，有一个小物体C，A、B、C的质量均为m。在系统静止时释放C，已知在运动过程中，A、C始终接触，试求： C R ⑴ 物体A和B刚分离时，B的速度； B h A ⑵ 物体A和B分离后，C所能达到的距台面的最大高度； L ⑶ 试判断A从平台的哪边落地，并估算A从与B分离到落地所 经历的时间。 · 例6、长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中点系有一个质量为M的小球，三球静止在光滑水平面上。绳处于伸直状态。先对M施加冲力，使其获得垂直于绳的初速度v。求 （1）两小球相碰时绳中的张力 （2）若从小球开始运动到两小球相碰的时间为t，求此期间M经过的距离 例7、有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着. 现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度 例8、有5个质量相同、其大小可不计的小木块l、2、3、4、5等距离地依次放在倾角θ=300的斜面上．如图所示．斜面在木块2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的．5个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦因数和动摩擦因数都是μ．开始时用手扶着木块1．其余各木块都静止在斜面上．现在放手。使木块l自然下滑并与木块2发生碰撞，接着陆续发生其他碰撞．假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的．求μ取何值时，木块4能被撞而木块5不能被撞? 例9、如图所示．质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的动摩擦因数μ=0.5，开始时车与铁块同以v=6m/s的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与竖直的墙壁发生正碰．设碰撞时间极短碰后车的速率与碰前相等，车身足够长，使铁块不能与墙相碰，g=10m／s2，求： (1)铁块相对小车的总位移； (2)小车与墙第一次相碰后所走的总路程． 例10、许多质量均为m的小球（忽略大小），用轻质柔软的细绳连成一串，相邻两球间绳长均为l，初始时，小球聚拢在同一位置，静止在地面上。将第一颗球以初速度v0竖直上抛，求： （1）第一颗球最高能上升多高 （2）若v0?10gl求出上升高度的具体数值 例11、有一个半径为R、质量为M的刚性均匀细圆环，开始时静止在光滑水平桌面上．环上有一小孔P0．桌面上另有一个质量为m的小球，可以自由穿过小孔．今使小球以初速度v0小孔P0．射入，如图所示，小球与圆环内壁发生N次弹性碰撞后，又从小孔P0穿出．设圆环内壁光滑，从小球射入小孔到它又从小孔穿出,圆环中心O到小球的连线相对于圆环刚好转过3600．试求小球穿出小孔后．圆环中心相对于桌面的速度． 例12、长为0.25m的轻杆两端各固定一个同样的m=1kg的小球组成“哑铃”，竖直立在光滑地面上。劲度系数k=104N/m的轻弹簧一端固定在墙上，弹簧处于压缩状态，压缩量为Δl=2cm，弹簧与上球不粘连。松手后，小球被向右弹开。设此过程时间很短，求 （1）上球被弹开时的速度v0 （2）弹开后瞬间杆的弹力 （3）上球碰地前两球的速度（设下球未离开地面） 例13、如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C住于光滑的水平桌面上(图中纸面)，A、B之间与B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生垂直于杆方向的作用力)．已知杆AB与BC的夹角为π-α，α<π／2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内档板对C的冲量的大小. 5.1角动量 一、力矩（对比力） 1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度 2、力矩可以用M或τ表示 3、力矩是矢量 4、力矩的大小和方向 （1）二维问题 ??rFsin? 注意，式中的角度θ为F、r两个矢量方向的夹角。 求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法） ??r(Fsin?) ??(rsin?)F 二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。 （2）三维问题 ??r?F 力矩的大小为 ??rFsin? 力矩的方向与r和F构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则 5、质点系统受到的力矩 只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0. 二、冲量矩（对比冲量） 1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量 2、冲量矩用L表示 3、冲量矩的大小 L?r?I?r?Ft??t 4、冲量矩是矢量，方向与r和F构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同 5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算） 三、动量矩（即角动量）（对比动量） 1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量 2、角动量用l表示 3、角动量的大小 l?r?p?r?vm 4、角动量是矢量，方向与r和v构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则 四、角动量定理（对比动量定理） 冲量矩等于角动量的变化量 L??t??l 五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律） 角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可） 1、合外力为0 2、合外力不为0，但合力矩为0 例如：地球绕太阳公转 此类问题常叫做“有心力”模型 3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0 例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程 注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同 六、转动惯量（对比质量） 1、转动惯量反映了转动中惯性 2、转动惯量用I或J表示 3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方 I?mr 4、转动惯量是标量 5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分 I?2?mr2ii 6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义） l?I? 七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律） 合力矩等于转动惯量乘以角加速度 ??I? 八、动能的另一种表示方式 Ek?1212mv?I? 22 例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结 例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。求 （1）小球所受的重力相对于A、B、C三点的力矩 （2）小球相对于A、B、C三点的角动量 例3、摆长为b的圆锥摆，悬挂点为O′，悬挂点在摆球运动所在水平面内的投影为O，摆线与竖直方向的夹角为α，求 （1）用m、b、α、Δt表示相对O′点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩 （2）用m、b、α、Δt表示相对O点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩 （3）摆球的速率 例4：如图，质量为m的质点，在光滑水平面上，用绳子穿过小孔和质量为M的物体相连。m一边绕小孔转动，一边在和小孔的连线方向振动，其与孔的最大距离为a，最小距离为b，求这两个位置时物体的动能。 m M 5.2微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 limsinx?1 x?0xx?1? *lim?1???1 x???x?2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 y'?dy?y ?lim?x?0dx?x导数含义，简单来说就是y随x变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 y'(x)?lim?yy(x??x)?y(x) ?lim?x?0?x?x?0?x4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 n（1）y?x （2）y?x (n?0) （3）y?sinx 2 二、微分 1、基本的求导公式 （1）?C?'?0 (C为常数) （2）xn'?nxn?1 (n?0) （3）ex'?ex *（4）ax'?axlna （5）?lnx?'???????11 *（6）?logax?'? xxlna（7）?sinx?'?cosx （8）?cosx?'??sinx （9）?tanx?'?11 （10） cotx'???22cosxsinx11?x2**（11）?arcsinx?'?**（13）?arctanx?'? **（12）?arccosx?'??11?x2 11 **（14） arccotx'????1?x21?x22、函数四则运算的求导法则 设u=u(x)，v=v(x) （1）?u?v?'?u'?v' （2）?uv?'?u'v?uv' （3）??u?u'v?uv' ?'?2vv??例2、求y=tanx的导数 3、复合函数求导 对于函数y=f(x)，可以用复合函数的观点看成y=f[g(x)]，即y=f(u)，u=g(x) y'?dydydu? dxdudx即：y'?y'uu'x 例3、求y?(1?2x)的导数 例4、求y?lntanx的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C为积分常数 28xn?1?C (n??1) （1）?kdx?kx?C (k为常数) （2）?xdx?n?1nax?C （3）?edx?e?C *（4）?adx?lnaxxx1?xdx?lnx?C （6）?sinxdx??cosx?C 1（7）?cosxdx?sinx?C *（8）?dx?tanx?C cos2x（5）**（9） 11 **（10）dx?arctanx?C?1?x2dx?arcsinx?C ?1?x22、简单的定积分求法（即牛顿—莱布尼茨公式） 物理竞赛中最基本的微积分公式 牛顿—莱布尼茨公式：若f(x)是F(x)在区间[a, b]上的导函数, 则 ?baf(x)dx?F(b)?F(a) 而根据导函数f(x)求原函数F(x)的过程，其实就是不定积分的过程。 3、换元积分法 (1)第一类换元积分（凑微法） 例5、求2xcosx2dx ? ** (2)第二类换元积分法 技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。 **例6、 ?1dx3x?x令6x?t即x?t6dx?6tdt?56t5dt12?t2?t3?6?(t?t?1?1?t)dt 物理例题： 例7、已知地球的半径为R，质量为M。将质量为m的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？ 例8、求半径为R，质量均匀的半圆形薄板的重心位置 例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m，杆长均为L，半径均为r (1)均匀杆绕中点转动 (2)均匀杆绕一端转动 (3)均匀圆盘绕中心转动 *(4)均匀球绕中轴转动 5.2附 微积分阅读材料 **一、求极限的罗必塔法则 如果当x?a(或x??)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，f(x)0?那么极限lim可能存在、也可能不存在。通常把这种极限称为或型未定x?aF(x)0?(x??)式。 此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未定式无法计算的情况。 f(x)f'(x)lim?lim. x?ag(x) x?ag'(x)(x??)(x??) 如果求导后仍然是未定式，可多次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。 0例1： tanx求lim.x?0 0x2(tanx)? secx原式?lim?1.?limx?0 x?0(x)?1 lnsinax?例2：求 lim.x?0lnsinbx? acosax?sinbxcosbx 原式?lim?lim?1.x?0bcosbx?sinaxx?0cosax 0?0?00 ??,???,0,1,?型未定式，可以化为或的形式0? ***二、分部积分法 理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。 根据函数相乘的求导公式：?uv?'?u'v?uv' 移项可得：uv'??uv?'?u'v 两边取积分： ??uv?dx?uv??vu?dx udv?uv??vdu ***例3、求 ?xcosxdx 取u?x,dv?cosxdx?xcosxdx ?则du?dx,v?sinxxsinx?sinxdx?xsinx?cosx?C?***例4、求x2exdx ??xedx2x取u?x,dv?edx2x?则du?2xdx,v?e取u?x,dv?edxxxxe?2?xedx2xx2xxx ?则du?dx,v?exxe?2xe?2?edx2xxx ? xe?2xe?2e?C利用分部积分法的步骤： (1)将被积函数分为两部分，一部分可以看做是原函数，即u，另一部分可以看做是导函数，即v’。 (2)右边第一项为两个原函数uv的乘积，第二项将原函数u变为导函数u’，导函数v’变为原函数v，相乘后再求积分。 利用分部积分法的技巧： 上述过程的难点在于对v’求积分，以及对u’v求积分。因此，要将被积函数拆成适当的两部分，使得这两个积分求解起来都比较容易。 三、简单的常微分方程（分离变量法） ***例5：放射性元素衰变问题 设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M成正比已知t=0时未衰变的铀的含量为M0，求M随时间变化的函数。 dM解： ???M dt变量为M和t，分离变量得： dM???dt M两边分别求不定积分： lnM???t?C根据初始状态求出积分常数C： lnM0?C带入后消去C可得： M?M0e??t ***例6：电容器充放电问题 电容为C的电容经过充电后，两端电压为U0。从t=0时刻开始串联上电阻R进行放电。求电压U随时间t的变化函数。 dQdU解： i????C dtdtU i? RdU联立上面两式可得： U??C RdtdUdt分离变量可得： ?? URC两边分别求不定积分： lnU??t?C0RC 根据初始状态求出积分常数C0： lnU0?C0 t带入后消去C0可得： U?UeRC0 可以看到，RC的值与电容器放电的快慢有关，因此RC也叫做RC电路的时间常数。 类似的，RL电路中，时间常数为L/R。 此外，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。 ***四、泰勒展开 将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量……常用于近似处理和对小量的讨论。 f??(x0)2f(n)(x0)nf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x??x?????x?o(?xn) 2!n!n理解公式前两项的几何意义。公式最后一项o(?x)表示剩下所有的项，相对于?x都 n?是小量。 常见函数在x0=0处的泰勒展开： k2k?13572k?2(?1)xxxx* sinx?x?3!?5!?7!??(2k??o(x) 1)! 2k46 2k2k?1x(?1)xx* cosx?1?????x?o(x).2!4!6!(2k)! ?(??1)2?(??1)?(??n?1)xn?o(xn). (1?x)??1??x?x???n!2! ** 1?1?x?x2?x3??(?1)nxn?o(xn). 1?x 234n?1nxxx(?1)x?o(xn).*** ln(1?x)?x????? n234 2nxx *** ex?1?x????o(xn). 2!n! 不是所有的函数不是在所有的位置都可以进行泰勒展开。只有当高阶项越来越小且趋近于0时（此说法不严格）才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值。 5.3角动量例题 例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大高度。 例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光 滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． m,r m1 例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。 例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为L/2， A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时 的速度 例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 例6、一质量为Ma，半径为a的圆筒A，被另一质量为Mb，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为Mo的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设 单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪断后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？ 7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F??kx 二、简谐运动的性质 F??kx mx''??kx 取试探解（解微分方程的一种重要方法） x?Acos(?t??) 代回微分方程得： ?m?x??kx 解得： T?22???2?m k对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 x?Acos(?t??) v??A?sin(?t??) a??A?2cos(?t??) 由以上三个方程还可推导出： ()?x?A v222? a???x 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt+φ为t时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。 四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） 2F??mgsin???mg? x?l? 因此： F??kx 其中： k?周期为：T?mg l2???2?ml ?2?kg 例1、北京和南京的重力加速度分别为g1=9.801m/s2和g2=9.795m/s2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC．C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动? 例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)． 例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R， 地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。 例5、如图所示，车厢在平直的公路以a=g/3的加速度做匀加速运动，用长为L的轻绳将小球悬于车厢天花板上，当小球相对车厢静止时，将其稍稍拉离平衡位置，并将其由相对车厢静止的状态而释放，以后小球将在平衡位置附近做小角度摆动，求小球摆动的周期是多少? 例6、一个摆长为l的单摆置于倾角为θ的光滑斜面上，悬点在垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，求单摆沿斜面作简谐运动时的周期。 例7、用两根长度均为l的轻杆把质量为m的小球悬挂在水平杆AB上，可以前后摆动，两杆间夹角为θ，当吧AB稍稍向上转过α角度，这个摆的周期多大？ 例8、两个系统，每个都由两个质量均为m的相同物体组成，两物体间用弹性系数为k的弹簧相连。两系统以大小相同的恒定速度相向运动，弹簧保持原长。某处时时刻，两系统相距L，求再经过多长时间，两系统重新回到初始时刻的位置，但速度的方向相反？ L 7.2振动能量 一、水平弹簧振子 1mvm2；振动幅度最大处，动能为0，弹性2121122势能为Ep?kA。由于振动过程中机械能守恒，因此：E?mvm?kA。 222平衡位置时，弹性势能为0，动能为Ek? 任意时刻t时，总能量为： 111111E?mv2?kx2?mA2?2sin2(?t??)?kA2cos2(?t??)?mvm2?kA2222222 上式推导中利用了??k m 二、竖直弹簧振子 设弹簧原长l0，劲度系数k，重物质量为m，平衡时弹簧伸长x0，某时刻，弹簧伸长x。 1、以弹簧原长处为零势能点（包括重力势能和弹性势能） E?1212mv?kx?mgx 222、以弹簧平衡位置为零势能点（包括重力势能和弹性势能） 111E?mv2?kx2?kx02?mg(x?x0) 222利用mg?kx0可得 11E?mv2?k(x?x0)2 22 上式的物理意义为：竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”，“等效弹性 势能”的零势能点为平衡位置，即伸长x0长度处。“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性势能和重力势能。 三、几种特殊的振动形式 1、阻尼振动 由于受到阻力作用，振幅不断减小，但周期不变 2、受迫振动 在周期性的外力作用下发生的振动。 受迫振动的周期等于外力的周期。 3、共振 当外力的周期与系统的固有周期相同，系统发生共振。 理想情况下，共振的振幅和能量可以无限的增加，趋近于无穷大。实际上，由于阻力存在，振动的振幅会达到某个确定值，这个值与阻力有关 例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。 其中第一个小球向左偏转一个小角度α，第二个球（同一平面内）向右偏转α/2。两球同时释放，经过时间t后发生弹性对心碰撞。问碰撞后经过多少时间，挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度? 例2、如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，xo＝10 cm；vo＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律． 例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3gL．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1)系统振动周期；(2)铁块从击中开始向上运动的最大位移； (3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间． 例4、平台A质量为m，由劲度系数为k的弹簧支持。弹簧上端与A相连，下端与地面相连，物体B质量也为m，自由的放在平台中心。现用竖直向下的力F?2?2?4mg把弹簧压下（在弹性限度内）当系统静止时撤去 外力，求此后A、B的运动情况以及各自达到的最大高度。 例5、 *例6：两条柔软的弹性绳中间连着一个小球，绳的另一端分别固定在同一竖直线上的O，O′点，上下绳的劲度系数分别为k1=0.8N/m，k2=1.2N/m。小球静止不动时位于C点，此时上下绳分别伸长了l1=0.08m，l2=0.03m。现在将小球沿竖直方向拉到与平衡位置C距离为l3=0.08m处，然后轻轻释放。求小球从释放开始到第一次回该释放点所需要的时间。（g=10m/s2） C 7.3机械波1 一、机械波的形成和传播 实例：绳子的波动、弹簧的伸缩 1、振动产生的本质： 先振动的质点带动相邻质点一起运动 2、振动传播的本质： 传播振动形式，能量和信息。质点不随波发生迁移。各质点的运动仅仅相差一定的相位，后运动的落后于先运动的。 二、机械波的种类（表1） 横波 例如：绳子波动 质点振动方向与 波传播方向垂直 有波峰和波谷 纵波 例如：弹簧伸缩 质点振动方向与 波传播方向共线 有疏部和密部 只能在固体中传播 可以在任何介质中传播 不能在真空中传播 需要有波源 质点不随波迁移 表1 表2 三、描述机械波的物理量 1、频率f，周期T 波的频率与质点振动的频率相同 同一列波进入其它介质，频率不变，仍为波源的频率。 2、波长λ 相邻两波峰之间的距离；相邻两波谷之间的距离；相邻两对应点之间的距离均为波长。 3、波速v（波的传播速度） v??T??f 同种性质的机械波，波速由介质的性质决定，与波的频率无关。 四、波的图象和振动的图像 1、两种图像的区别和联系 振动图像记录的是做振动一个质点在不同时刻的位置。 波的图像记录的是做振动多个质点在同一时刻的位置。 具体的区别和联系见表2： 2、根据波的方向判断质点振动方向 方法1：利用质点沿着传播方向振动依次滞后的特点，离波源远的质点向离波源近的质点“看齐” 方法2：画出短时间Δt后的波形图进行对比 例1、如图所示，已知波向右传播，请判断质点A、B、C、D、E的振动方向。 3、已知某质点的振动方程，求另一质点的振动方程 方法1：考虑两质点的相位之差 方法2：考虑两质点的时间的滞后 方法3：考虑两质点的距离与波长的关系从而得到相位之差 方法4：考虑两质点的距离与波速的关系从而得到时间的滞后 例2、如图所示，此时为t=0时刻波的图像。画出O、P两质点的振动图像，并写出运动方程 4、波的传播方向和周期性引起的多解问题 例3、如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2秒后的波形图。 （1）求传播的可能速度 （2）求最大周期 （3）若波速是35m/s，求波的传播方向 例4、甲乙分别表示一列横波上相距3m的两个质点A和B的振动图像，求： （1）波通过A、B两点的时间及对应的波速 （2）若A、B之间有一点P，距B为1m，波长满足3m<λ<13m，则从t=0开始，经过1s时间后P点通过的路程是多少？ 五、波的叠加原理 1、各波源所激发的波可以在同一介质中独立地传播，它们相遇后再分开，其传播情况（频率、波长、传播方向、周相等）与未遇时相同，互不干扰，就好像其他波不存在一样； 2、在相遇区域里各点的振动是各个波在该点所引起的振动的矢量和。 六、驻波（同一直线上波的叠加） 频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成驻波 设一列波波源位置为(-l,0)，沿正方向传播，另一列波波源位置为(l,0)，沿负方向传播 对于第一列波，任意位置x处的振动方程为 y1?Acos(?t?2?x?l?) 对于第二列波，任意位置x处的振动方程为 y2?Acos(?t?2?l?x?) xl根据叠加原理，总的振动方程为 y?y1?y2?2Acos2??cos(?t?2??) 总的振动，振幅不是常数，与质点的位置x有关，振幅和位置x是三角函数的关系。有些位置振幅为0，即始终不振动，叫做波节，有些位置振幅最大，叫做波腹。总的振动，各质点之间无相位差，振动同时达到最大，同时达到最小。 例5、同一媒质中有甲、乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相向传播，波长为8m ，波传播方向上A、B两点相距20m ，甲波在A处为波峰时，乙波在B处位相为? ? ，求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。 2 七、波的干涉（平面内波的叠加） 频率相同、振动方向一致、有固定相位差的两个波源称为相干波源。相干波源发出的波，在相遇的区域会出现波的干涉现象 研究两同相位波源S1、S2在平面内某点产生的干涉的情况。该点到两波源的距离分别为r1、r2， 设波源振动均为y?Acos?t 波源S1的波传播到r1处时，振动方程为：y1?Acos[?t?2? 波源S2的波传播到r2处时，振动方程为：y2?Acos[?t?2? 总的振动为：y?y1?y2?2Acos2?r1?r2] ] ?(r1?r2)/2?cos[?t?2?(r1?r2)/2?] 总的振动，振幅不是常数，与质点的位置有关。 表述1：r2?r1?k?干涉极大；r2?r1?(k?)?干涉极小 表述2：相位相差2k?干涉极大；相位相差(2k?1)?干涉极小 表述3：时间相差kT干涉极大；时间相差(k?)T干涉极小 例6、如图，在半径为45m的圆形跑道上的P点和圆心Q点各有一个相同的扬声器，发出的都是波长为10m的完全相同的声波，一个人从直径PH的H点出发，沿逆时针方向绕圆周走一圈，问他离开H点后，到达P点前共听到几次最弱点声音？ 12127.4机械波2 振动和波例题 八、惠更斯原理 波面上的每一点都是一个次级子波源，子波的波速与频率等于初级波的波速和频率，此后每一时刻的子波波面的包络就是该时刻总的波动的波面。 九、波的衍射（绕射） 波绕过障碍物或小孔后继续传播的现象（解释：惠更斯原理） 当障碍物或小孔的尺寸与波长接近时，衍射现象明显 实验1：相同波长的水波通过不同宽度的狭缝 实验2：泊松亮斑 十、多普勒效应 1、波源不动，观测者运动 S 图1 v0 人 S v0 人 v人 λ λ 图2 如图1，若人不动，相邻两波峰传到人处的时间间隔为T0??v0 如图2，若人速度以v人的速度靠近波源，相邻两波峰传到人处的时间间隔为T??v0?v人 因此，T?v?vv0T0，即f?0人f0 v0?v人v0v0?v人f0。（思考：若v人?v0，会出现什么情况？） v0 类似的，若人远离波源，f?2、观测者不动，波源运动 已经传播出去的波，不会受波源运动的影响 如右图，若人在波源的右侧，即波源靠近人，则等效波长缩短 ???0?v源T源?(v0?v源)T源 f?v0?v0f0 v0?v源λ （思考：若v源?v0，会出现什么情况？） 如右图，若人在波源的左侧，即波源远离人，则等效波长变长 S v源 ?λ ???0?v源T源?(v0?v源)T源 f?v0?v0f0 v0?v源?3、波源运动，观测者也运动 可以看成前两种运动效果的叠加 两者相向运动f?v0?v人f0 v0?v源v0?v人f0 v0?v源 两者背向运动f?4、超音速与马赫锥 例1、有一种用钢丝操纵做圆周飞行的模型飞机，装有两冲 程的活塞式发动机作为动力。操纵者站在圆心，在他听来，发动机工作时发出的声音频率如何变化？旁边的观察者则听到发动机的声音又是如何变化的？ 若模型飞机的飞行速度是25m/s ，单缸发动机的转速是9000r/min，则观察者听到的声音的最高频率是_________Hz，最低频率是________Hz，操纵者听到的声音频率是______Hz。（声波波速340m/s） 例2、两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示。汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t 汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u，且u＞vA 、u＞vB 本章例题： 例1、如图所示，质量分别为m1和m2的木块用倔强系数为k的轻弹簧连接起来，用两根绳子拉紧两物体，使弹簧压缩．某时刻将绳子烧断，试求两木块的振动周期．(不计摩擦) 例2、挂在墙上的摆钟具有质量M=5kg，轻摆下端的摆锤质量m=150g．如果用两根平行长绳将钟挂在天花板上，那么一昼夜钟的示数误差为多少?设固定在墙上钟走得准确． 1附：二项式定理：(a＋b)＝C0na＋Cna n n n－1 b＋…＋Crna n－rr b＋…＋Cnnb n 例3、（1）长为l的刚性轻杆，一端由一无摩擦的铰链悬挂于天花板上，另一端系一质量为m的质点。若在杆中点再固定一个质量为m的质点，求此系统小角度摆动的周期。 （2）长为l的刚性匀质杆，质量为m，一端由一无摩擦的铰链悬挂于天花板上，求此杆小角度摆动的周期。 例4、在光滑水平面上自由放置一轻弹簧，其左端固定，右端系着一物块P，另一物块Q在P的右边和它紧靠，Q的质量是P的2.5倍。P与Q的右边有一墙壁与弹簧垂直，物块与此壁相距L?14?今使P、Q从原来位置向左移一段距离，并令其处于静止状态后释放。cm。 13已知P在第一次经过平衡位置后完成一次全振动时，与Q恰好发生第一次碰撞，假设所有碰撞都是弹性正碰，且两物块大小可以忽略不计。求 （1）开始时弹簧的压缩量L0是多少？ （2）P与Q第一次分离至第一次碰撞的时间内，求P至两物块第一次分离点的最远距离 （3）P与Q第一次碰撞至第二次碰撞的时间内，求P至两物块第一次分离点的最远距离 （4）下图给出了一条余弦曲线，试以两物体第一次相碰时刻为计时起点，在图中画出P和Q的位移时间图线，并标出P与Q第二次相碰的时刻。 8.1分子运动论 理想气体状态方程 一、分子运动论的基本观点 1、一切物体都是由大量分子构成的 。 （1）阿伏伽德罗常数：NA=6.02*1023mol-1 1mol物质含有的分子数 （2）摩尔质量：M或μ 1mol物质的质量 2、分子做不停息的无规则运动，也称热运动。 （1）扩散现象： 扩散的速度与温度（分子热运动的速率）和物质浓度梯度有关。 （2）布朗运动： 悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动。 微粒受到四周分子的碰撞不均匀，有一定的随机性。 3、分子间同时存在着相互作用着的引力和斥力 引力和斥力都随分子间距的变化而变化，但变化规律不同。 (1)分子间距r很小时，斥力较大，引力较小，表现为分子间有排斥作用。 (2)引力和斥力都随着分子间距r的增大而减小，但斥力减小的快，引力减小的慢。 (3)r=r0时，引力与斥力平衡 (4)分子间距r继续增大时，斥力较小，引力较大，表现为分子间有吸引作用。 二、理想气体 理想气体是一种理想模型，不同于真实气体。 1、分子是有质量但没有大小的小球 2、碰撞均为弹性碰撞 3、除了碰撞过程，忽略其他分子间相互作用力。因此，忽略分子势能，只考虑分子动能 三、理想气体压强的微观表达式 p?2122nmv?n? 323例1：在边长为l的立方体容器中，由于分子与容器壁的弹性碰撞产生压强。已知单位体积 内的分子数为n（分子数密度），分子的平均速度为v，单个分子质量为m，试推导压强的表达式。 例2、已知在真空中，动能为EK，垂直向器壁飞行的银原子持续到达器壁上产生的压强为p。若银原子到达器壁后便吸附在器壁上，形成银层的密度为ρ，银的摩尔质量为μ，问银层增厚的速率多大？ 四、理想气体的状态方程（克拉帕龙方程） pV?NRT 或 p?nkT其中N为气体的物质的量，n为单位体积内的分子数，T为热力学温度，单位开尔文（K） 热力学温度和摄氏温度的换算公式为：T＝t＋273.15 R为普适气体恒量，R=8.31J?mol-1?K-1 k为波尔兹曼常数，k=1.38*10-23J?K-1 其中：R?kNA 五、一些常见的概念 1、气体处于一个标准大气压，零摄氏度的状态，称为标准状态 2、一个标准大气压，也可以表示为1atm=1.03*105Pa=76cmHg 3、在标准状态下，1mol气体的体积为22.4L 例3、有1个两端开口、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中、两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为2h，玻璃细管的半径为r,r< (1)如将U型管两个竖直支管的开口分别封闭起来，使其管内空气压强均等于大气压强．问当U形管向右作匀加速移动时，加速度应多大才能使水平管内水银柱长度稳定为5h/3. (2)如将其中一个竖直支管的开口封闭起来，使其营内气体压强为1大气压．问当U形管绕以另一个竖直支管(开口的)为轴作匀速转动时，转数n为多大才能使水平管内水银柱长度稳定为5h/3(U形管作以上运动时一均不考虑管内水银液面的倾斜)． 例4、如图，在一根上端开口，下端封闭的竖直玻璃管内，下段有60cm长的水银柱，中段有18cm的空气柱，上段有45cm长的水银柱，水银面恰好和管口平齐。已知大气压为p0=75cmHg。若使玻璃管绕下端在竖直平面内缓慢的转一周（设温度不变），问管中空气柱的长度变为多少？ 例5、用贮气罐通过阀门向一体积为V0的真空室充气，贮气罐的体积为V，罐内气体的压强为p．当气罐与真空室相连后，便打开阀门，使之与真空室连通．达到平衡后，关闭阀门，并换一个新的气罐与真空室相连．打开阀门让气体进入真空室后再关闭阀门，以后再换一个气罐．如此持续向真空室充气，直到真空室中气体的压强为p0．求共需多少个气罐?(假定充气过程中温度保持恒定) 例6、在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。第一步，水银柱高度h1＝70cm，空气压强pk1＝100cmHg，温度为00C＝273K。第二步，等温条件下向上提升活塞，直至水银柱高度降为h2＝40cm，这时空气压强为pk2＝60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到T3，此时水银柱的高度为h3＝50cm。最后，第四步，温度为T4，水银柱的高度为h4＝45cm，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。 六、道尔顿分压原理 混合气体的压强等于各组分气体分压强之和。 p1?NRTN1RTNRT，p2?2……pn?n VVVN总RT V累加求和可得：p?即理想气体状态方程对混合气体也适用，只要将总的物质的量代入公式即可 例7、两容器分别装有SO2，和O2气体，其质量各为2g和6g，压强各为5atm和10atm．现 将两容器对接，充分混合后，求其压强．(设想其温度不变) 8.2热力学第一定律 一、热力学第一定律 理想气体从一个状态缓慢变化到另一个状态的过程（准静态过程）中，做功和热传递会导致气体内能发生变化。 二、理想气体的内能 由于理想气体不考虑分子间作用力，因此没有分子势能，因此内能即为分子的总动能 由压强的表达式p?子的平均平动动能。 23n?和p?nkT，可得：??kT。注意?的物理意义，?是分323kT 252、对于双原子分子，总能量包括平动动能、转动动能（5个自由度）?总?kT 263、对于多原子分子，总能量包括平动动能、转动动能（6个自由度）?总?kT 21、对于单原子分子，总能量即平动动能 （3个自由度）?总?因此可得对应气理想体的内能： 33NNAkT?NRT 22552、双原子分子组成的理想气体，内能U?NNAkT?NRT 22663、多原子分子组成的理想气体，内能U?NNAkT?NRT 221、单原子分子组成的理想气体，内能U?三、外力对气体做功的计算 1、恒力（恒压）做功 W??F?l??pS?l??p?V 2、变力（变压）做功（微元法） W?四、热量传递的计算 1、对于固体和液体： 一般来说体积变化可以忽略： ??W???p?Viii Q?cm?T 其中，c为比热：1kg的物质，升温1°C吸收的热量 2、对于气体： (1)如果体积不变，所有热量都用来改变温度： Q?NcV?T 其中，cV为摩尔定容比热：1mol的物质，保持体积不变，升温1°C吸收的热量 (2)如果压强不变，根据状态方程，温度变化，体积随之变化。因此，一部分热量都用来改变温度，另一部分用来做功： Q?Ncp?T 其中，cp为摩尔定压比热：1mol的物质，保持压强不变，升温1°C吸收的热量。 思考：对于气体，是否其它比热的定义？ 五、四种典型过程中的热力学第一定律 1、等容过程 iR?T?0?NcV?T 2i可得：cV?R 2N2、等压过程 iR?T??p?V?Ncp?T 2i即：NR?T??NR?T?Ncp?T 2i 可得：cp?R?R。因此，两种热容之间的关系为：cp?cV?R 2N3、等温过程 0???pi?Ti?Q 利用微积分： 2V2NRT12 W???pdV???dV??NRT?dV??NRT[lnV]V??NRTlnV1VVV1V1V1V1V2V2V可得：Q??W?NRTln*4、绝热过程（推导过程略） V2 V1pV?常数，其中???cpcV?i?2 i六、四种基本过程的图像 1、你能从p-V图像中看出做功的多少吗？ 2、你能画出p-T图像， V-T图像吗？ 例1、质量为50 g，温度为18℃的氦气装在容积为10 L的密闭容器中，容器以v＝20 m/s的速率作匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强各增大多少? 例2、一定质量的单原子理想气体在一密闭容器中等压膨胀到体积为原来的1．5倍，然后又被压缩，体积和压强均减为1／3，且过程中压强与体积始终成正比，比例系数不变，在此压缩过程中气体向外放热Qo，压缩后气体重新等压膨胀到原体积(气体在第一次等压膨胀前的状态)，为使气体等容回到上面提到的原状态(第一次膨胀前的状态)，需要传递给气体的热量Q1是多少? 例3、0.2mol且Cv,m?3R的理想气体经历了一个准静态过程 2，它在图上可表示为一个圆．试求： (1)气体在A—B—C—D—A过程中对外做的功； (2)气体在A—B—C过程中吸收的热量； (3)整个过程中经历的最高温度． 例4、1mol的理想气体经历一个在图上标为1—2--3--1的循环过程，如图所示．其中，过程1—2的方程式为T?2T1(1?1?V)?V，过2程2--3为经过原点的直线上的一段，过程3一l的方程式为 T?T1?2V2，式中?是常量．状态1和2的热力学温度已知为T1和3T1．求该气体在此循环过程中对外所做的功。 4 例5、比热容比为γ的1mol理想气体按p?aV的规律膨胀(式中a为常数)，气体从初体积 V0，膨胀为nV0，求该过程中所吸收的热量与平均摩尔热容量． 例6、在原子弹爆炸后0.1s所出现的“火球”是半径约15m、温度为3×105 K的气体球．试作粗略的假设，估计温度变为3×103 K时的气体的半径． 8.3热力学第二定律 热传递方式 一、热力学第二定律 表述1：热量只能自发的从高温物体转移至低温物体。如果想让热量由低温物体转移到高温 物体，一定会引起其他变化（需要做功）。 热传递的方向性 表述2：不可能从单一热源取热，把它全部变为功而不产生其他任何影响 机械能、内能转化的方向性（能量耗散） 表述3：有序到无序，熵增加 第一类永动机： 不需要动力的机器，它可以源源不断的对外界做功 违反能量守恒定律 第二类永动机： 从单一热库吸收热量，全部用于做功。 违反热力学第二定律：机械能与内能的转化具有方向性，机械能可以转化内能，但内能却不能全部转化为机械能而不引起其它变化。 二、卡诺循环 当高温热源和低温热源的温度确定之后，所有热机中，按照卡诺循环运行的热机效率是最高的。（证明略） 卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成。从高温热源等温吸热Q1，对外做功，并向低温热源散热Q2。 两个绝热过程中，没有热传递，做功等于内能变化，为相反数。W?两个等温过程中，热量交换加上做功等于0，因此， 在高温热源吸热：Q1??W1?nRT1lninR?T 2V2 V1V4 V3在低温热源放热：Q2??W2?nRT2ln利用绝热过程的状态方程： ??1??1??，即 VnRT?VnRT2 PV?PV2132233??，即 V4??1nRT2?V1??1nRT1 PV44?PV11有上述公式可得卡诺热机的效率，即最大效率： ??Q1?Q2T1?T2? Q1T1如果将上述过程反过来，叫做逆卡诺循环，即在外界做功W的帮助下，从低温热源吸 热Q2，向高温热源散热Q1。例如空调、冰箱都有这种功能。（但现实中的空调、冰箱不一定满足逆卡诺循环的条件）。 对于逆卡诺循环，常用制冷系数进行描述： ??Q2T2? Q1?Q2T1?T2 例1、有一卡诺致冷机，从温度为-10℃的冷藏室吸取热量，而向温度为20℃的物体放出热量。设该致冷机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取的热量是多少？ 例2、一卡诺机在温度为27℃和127℃两个热源之间运转． (1)若在正循环中，该机从高温热源吸热1.2×103 cal，则将向低温热源放热多少?对外作功多少? (2)若使该机反向运转(致冷机)，当从低温热源吸热1.2×103cal热量，则将向高温热源放热多少?外界作功多少? 例3、某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率为P0． (1)夏天室外温度恒为T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的T2．室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T1－T2)(牛顿冷却定律)，比例系数A．试用T1，P0和A来表示T2． (2)当室外温度为30℃时，若这台空调器只有30％的时间处于工作状态，室温可维持在20℃．试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃? (3)冬天，可将空调器吸热、放热反向．试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20℃? 三、热传递方式 1、热传导 考虑长度为l，横截面积为S的柱体，两端截面处的温度为T1,T2，且T1?T2，则热量沿着柱体长度方向传递，在△t时间内通过横截面S所传递的热量为 Q?KT1?T2S?tl 其中，K为导热系数。 2、热对流 3、热辐射 黑体：吸收所有的电磁辐射，无任何反射。与此同时，黑体自身也会向外辐射，单位面积的辐射功率为： J??T4 式中??5.67?10?8Wm2?K4，称为斯忒藩常数。 如果不是黑体，单位表面积的辐射功率J记为 J???T4 式中ε叫表面辐射系数，其值在0和1之间，由物体性质决定。 对于温度不变的黑体来说，存在着吸收辐射和向外辐射的平衡。 例4、如图所示，两根金属棒A、B尺寸相同，A的导热系数是B的两倍，用它们来导热，设高温端和低温端温度恒定，求将A、B并联使用与串联使用的能流之比．设棒侧面是绝热的． 例5、已知地球和太阳的半径分别为R1＝6×106m、R2＝7× 108m，地球与太阳的距离d＝1．5×1011m．若地球与太阳均可视为黑体，试估算太阳表面温度． 例6、取一个不高的横截面积是3dm的圆筒，筒内装水0.6kg，在阳光垂直照射下，经2min温度升高1℃，若把太阳看成黑体，已知太阳半径和地球到太阳的距离分别为R?7?10m和d?1.5?10m，并考虑到阳光传播过程中的损失，地球大气层的吸收和散射，水所能吸收的太阳能仅是太阳辐射能的一半，试估算太阳表面的温度。(已知 1182??5.67?10?8Wm2?K4) 8.4气体例题 例1、薄的长方形平玻璃板，质量为m，竖直对称地挂在两个很轻的无 伸缩性的绳子上。每一面的左半个表面都涂上一层化学性质活泼的金属。整体放在玻璃盒中，先抽成真空，然后在某瞬间向内放气态氯至压强p。假设在氯分子和金属碰撞时，发生化学反应的几率为q<1，试计算在平衡态时，玻璃板围绕着竖直轴旋转的角度。（图中a、b、c尺寸已知）（假设氯的浓度在玻璃板两面是一样的，随着化学反应，氯气压力的变化可以忽略，所生成的金属氯化物都留在玻璃板上，且在观察过程中，反应几率和玻璃板质量可以看做定值） 例2、A、B两容器的体积之比VA/VB = 3/2 ，它们分别置于温度为300K和400K两恒温槽中，A中装有10atm的氢气，B中装有16atm的氦气。现用细管将它们连通（细管的容积不计），两种气体不发生化学反应，试求混合后气体的压强。 例3、热机工作物质是vmol理想单原子气体．该气体进行闭合循环．该循环中1-2段表示压强p与体积V的线性关系，2-3段表示等压过程，3-1段表示压强与体积的线性关系．p0和V0为已知量．求： (1)点3所在状态的体积V3和温度T3； (2)气体一次循环做的功； (3)热机的效率． 例4、用贮气罐通过阀门向一体积为V0的真空室充气，贮气罐的体积为V，罐内气体的压强为p．当气罐与真空室相连后，便打开阀门，使之与真空室连通．达到平衡后，关闭阀门，并换一个新的气罐与真空室相连．打开阀门让气体进入真空室后再关闭阀门，以后再换一个气罐．如此持续向真空室充气，直到真空室中气体的压强为p0．求共需多少个气罐?(假定 充气过程中温度保持恒定) 例5、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27°C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。 例6、如图所示，一个带阀门的气缸，缸内有一个弹簧，其两端分别与缸底、活塞相连，活塞横截面积S?1.0?10m，现在 ?321.0?10Pa的大气相通，先打开阀门，使气缸内部与外界27?C、 此时活塞距气缸底部的距离为10cm，处于平衡。然后关闭阀门，在活塞上面放40kg的重物，活塞下降5cm而平衡，对气缸加热， 5使缸内气体温度上升达到57?C，同时在活塞上面增加重物，使活塞保持不动，最后打开阀门，并使缸温度降至27?C。问活塞最终静止在什么地方？（取g?10m/s，活塞质量4kg，摩擦不计，并假设弹簧都处在其弹性限度内） 例7、在一个横截面积为S的密闭容器中，有一个质量为m的活塞把容器中的气体分成两部分，活塞可在容器中无摩擦地滑动，当活塞处于平衡时，活塞两边气体的温度相同，压强都是p，体积分别为V1和V2，如图．现在用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动，整个系统可看作是恒温的． (1)求活塞运动的周期，将结果用p、V1、V2、m和S表示． (2)求气体温度t=0℃时的周期T与气体温度t’＝30℃时的同期T’之比值 例8、横截面积为S和αS(α＞1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图所示。这时舱Ⅰ内气体压强为p1，舱Ⅲ内气体压强为?p1，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q，温度上升，使 Ⅰ 2Ⅱ Ⅲ 各舱温度相同。试求舱Ⅰ内压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。 例9、在两端开口的竖直放置的U型管中注入水银，水银柱的全长为h。若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长L，然后使水银柱作微小的振荡，设空气为理想气体，且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当于h0水银柱产生的压强，空气的绝热指数为?。试求水银振动的周期T2。已知对于理想气体的绝热过程有PV=常数。 ?9.2物态变化 一、麦克斯韦速率分布律 大量气体分子的速率是按一定规律分布，呈“中间多，两头少”的分布规律，且这个分布状态与温度有关，温度升高时，平均速率会增大。定量公式不作要求。 例1、根据右上图解释为什么地球的大气层中氢气的含量远小于氧气？ 二、汽化 汽化：物质从液态变成气态的过程，包括蒸发和沸腾两种方式 1、蒸发 蒸发：发生在液体表面，即液体分子由液体表面跑出去的过程。 由于分子在做无规则热运动，液体表面有一些速度较大的液体分子有可能脱离束缚进入空气。与此同时，一些在空气中的液体分子也可能重新进入液体。 影响蒸发快慢的因素 (1)温度： 温度越高蒸发越快 (2)表面积： 表面积越大蒸发越快 (3)通风： 空气流动性越好蒸发越快 (4)液面处的气压：气压越高蒸发越慢 任何温度下，液体都会进行蒸发。 蒸发的效果：可以使液体降温。 思考：你能从微观的角度解释上述现象吗？ 2、沸腾 在一定大气压下，加热液体到某一温度时，在液体表面和内部同时发生的剧烈的汽化现象，相应的温度叫沸点。 沸点和气压有关 三、饱和汽与饱和汽压 在敞开容器中的液体，过一段时间总会蒸发完，而密闭容器内的液体则不会。例如瓶装饮料。 当脱离液体的分子数和返回液体的分子数一样多时，达到动态平衡。此时的蒸汽叫做饱和汽。此时，从宏观上看，蒸发停止了。 没有达到饱和的蒸汽叫做未饱和汽。 在一定温度下，饱和汽的分子数密度是一定的，因而饱和汽的压强也是一定的，这个压强叫做这种液体的饱和汽压。 注意： 1、饱和汽压指的是该种气体的分压，不是实际的总气压！ 向一个真空容器中注入液体（没有装满），则稳定后，气体的压强即为该液体的饱和汽压。 通常情况下，直接测混有空气的饱和汽的压强大于饱和汽压。 2、某种液体的饱和汽压只与温度有关，与气体的体积大小、是否混有其它气体无关。 饱和汽压与温度的关系： 思考1：为什么温度越高，饱和汽压也越高？ 思考2：右图是饱和汽压和温度的关系图，同时也是沸点和气压的关系图。为什么沸腾的条件是饱和汽压和外部压强相等？ 例2、如图，带有活塞的容器中，装有一些水 (1)保持活塞不动，当温度升高，水的体积和容器内蒸汽压分别如何变化？ (2)保持温度不变，向上提活塞，水的体积和容器内蒸汽压分别如何变化？ 四、空气的湿度 1、绝对湿度ps ： 空气里所含水汽的压强 2、相对湿度B： 在某一温度下，水蒸汽的压强与同温度下饱和汽压的比，称为空气的相对湿度。 B?ps?100% p3、露点：通常可以采用降温的方法使未饱和的气体变为饱和，临界温度称为露点。 例3、一汽缸的初始体积为V0，其中盛有2mol的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：(1)汽缸中气体的温度； (2)汽缸中水蒸气的摩尔数； (3)汽缸中气体的总压强。 (假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。) 例4、将一份潮湿空气的体积压缩为原来的1/4，它的压强增至原来的3倍。若再把体积压缩1/2，压强变为最初的5倍。以上一切过程中温度保持不变，空气和水蒸汽均视为理想气体。问在最初条件下相对湿度是多少？ 例5、用不导热细管连接的两个相同容器，容器里装有压强为1atm、相对湿度为B=50%，温度为100℃的空气。现将其中一个容器浸在温度为0℃的冰中，试问系统的压强改变为多少？每一容器中的相对湿度是多少？已知0℃时水的饱和汽压为4.6mmHg。 例6、图中曲线表示在10℃到30℃范围内水的饱和蒸气压曲线。p(mmHg) 现将温度为27℃、压强为1atm、相对湿度80%的空气封闭在某) 一容器中，把它逐渐冷却到12℃。试问：(1)这时空气的压强是多少？(2)温度降到多少时开始有水凝结？这时空气中所含的水蒸气为百分之几？ t(°C) 五、物态变化中的能量 1、熔化热λ 单位质量的某种晶体熔化过程中所需的能量，称做这种晶体的熔化热。 一定质量的晶体，熔化时吸收的热量与凝固时放出的热量相等（能量守恒定律） 2、汽化热L 液体汽化时，液体分子离开液体表面成为气体分子，要克服其他液体分子的吸引而做功，故要吸收能量。 单位质量的某种液体汽化成同温度的气体时所需的能量，称做这种物质在这个温度下的汽化热。 温度越高，汽化热越小；压强越大，汽化热越大。 例7、已知冰、水和水蒸气在一密闭容器内(容器内没有任何其他物质)，如能三态平衡共存，则系统的温度和压强必定分别是t1?0.01℃和p1?4.58mmHg。现有冰、水和水蒸气各1g处于上述平衡状态。若保持总体积不变而对此系统缓慢加热，输入的热量Q=0.255kJ。试估算系统再达到平衡后，冰、水和水蒸气的质量。已知此条件下冰的升华热L升?2.83kJg；水的汽化热L汽?2.49kJg。 例8、在带有加热器的密封圆柱形容器中，质量为M的活塞下方有一定量的水及其蒸汽，活塞上方是真空，如图所示已知当加热器功率为N1时，活塞以不变速度v1缓慢上升；当加热器功率增加到N2=2N时，活塞上升速度变为v2=2.5v1，这时容器内温度不变．求这个温度是 6 多少?(已知在这个温度下汽化热L=2.2×10J／kg，N1=100W，M=40kg，v1=0.01m／s)（设热量散失的速度始终不变） 10.1光的反射和折射 一、光的直线传播 1、光在均匀媒质中沿直线传播 2、真空中的光速为 c = 3*108m/s 其它媒质中的光速小于真空光速v?c，其中n为折射率。 n3、影和日食、月食 当光经过不透光的物体时会在后面留下影子。完全没有光照的区域叫本影，有部分光照的叫半影。 （1）日食 思考：右图中，地球（未画出）处于哪些区域时，会出现日全食？哪些区域出现日偏食？哪些区域出现日环食？ （2）月食 思考：右图中，月球（未画出）处于哪些区域时，会出现月全食？哪些区域出现月偏食？是否会出现月环食？ 例1、如图，L是一水平放置点亮的8W日光灯管，T是一藤椅的竖直靠背，横的藤条与日光灯管平行，竖的与日光灯管垂直，横竖藤条间都是透空方格。P是与藤椅背平行的很大的白屏，现将白屏从紧贴椅背的地方慢慢向远处（图中右方）平移，在屏上会陆续看到什么图像？ 4、小孔成像 像的上下左右都和物相反 像的形状与小孔的形状无关 5、影的速度 （1）光源转动 （2）反射面转动 等效于光源以两倍角速度转动 （3）光源平动 [1]运动方向与接收屏方向平行 [2]运动方向与接收屏方向不平行 计算方法：相似三角形或利用角速度相同 （4）物体运动 例2、小石头A位于光源S和竖直墙壁之间，而且紧靠光源，若石头以水平初速抛出，则它在墙上的影子做什么运动？ 二、光的反射 入射光线、反射光线和法线在同一平面，分别位于法线两侧，入射角等于反射角。 1、可以将光源等效到反射面的另一侧 2、也可以将像等效到反射面的另一侧 三、光路可逆 四、光的独立传播 例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照相机，如图(1)所示，图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部(其尺寸远小于OC的长度)，白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子．图(2)为俯视图．若两平面镜的夹角么?AOB=720，设人头的中心恰好位于?AOB的角平分线上，且照相机到人的距离远大于人到平面镜的距离． （1）试在图中标出P的所有的像的方位示意图． （2）在方框中画出照片上得到的所有的像(分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子)． 例4、两平面镜夹角为15°，OA=10cm，A点发出的垂直于L2的光线射向L1后在两镜之间反复反射。求反射的次数是多少？从A点到最后一个反射点，光线所走的路程是多少？ 例5、如图,两块平面镜宽度均为l?5cm，相交成角??12?， l构成光通道，两镜的右端相距d=2cm.左端靠在光接收器的圆 ?柱形感光屏上，试问入射光线与光通道的轴成的最大角?maxd为多少，才能射到光接收器上. 例6、（1）两平面镜夹角为90°，点光源S在两平面镜之间的某位置。求点光源成的像有几个？ （2）两平面镜夹角为150°，点光源S在两平面镜之间的某位置。求点光源成的像有几个？ *（3）两平面镜夹角为θ，点光源S在两平面镜之间的某位置。讨论点光源成像的个数。 10.2面镜成像 光的折射 一、物和像的概念 1、入射光线是发散的，由同一点发出，这个点叫“实物” 2、入射光线的延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚物” 3、反射光线汇聚到同一点，这个点叫“实像” 4、反射光线的反向延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚像” 真实光线交点为“实”，延长线交点为“虚” 实物虚像 虚物实像 虚物虚像 实物实像 二、平面镜成像 1、平面镜不改变光的汇聚或发散程度 2、实物成虚像，虚物成实像 u+v=0 其中，u为物距，v为像距。思考其中的正负号是如何规定的？ 3、成等大正立的像 线放大率（横向放大率）为： m?v?-1 u ☆三、光学公式中的符号规则 1、实正虚负规则 实物，物距为正；实像，像距为正 虚物，物距为负；虚像，像距为负 例如：u+v=0，即物和像一实一虚 2、笛卡尔坐标规则 以主光轴为x轴，光心为坐标原点，建立坐标系，各物理量的正负号由坐标系决定。 *角度的规定：以主光轴出发，按小于90°的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负。 例如：s+s’=0，s表示物的坐标，s’表示像的坐标。即物和像在坐标原点的两侧，因此一正一负。 以上两种坐标规则选用一种，切勿混用！推荐使用笛卡尔坐标规则。 四、球面镜成像 1、凹面镜和凸面镜 2、半径R、球心C、顶点O、主光轴、焦点F、焦距f 3、球面镜近轴光线焦距为 f=R/2 例1、结合焦距的定义，证明球面镜近轴光线的焦距为f=R/2 4、近轴光线成像公式 (1)实正虚负规则 1112??? uvfR凹面镜f、R为正，凸面镜f、R为负 (2)笛卡尔坐标规则 1112??? ss'fR5、线放大率（横向放大率）为 m?vs?? us'例2、以凹面镜为例，推导近轴光线成像公式和线放大率公式 注意： （1）以上公式的前提是近轴光线成像 （2）以上公式对凹面镜和凸面镜均成立 （3）当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面镜成像公式 （4）牢记符号法则，推荐使用笛卡尔坐标法则 例3、一个凹面镜所成的像，像高为物高的1/3，且已知物象间的距离为1m，求凹面镜的曲率半径。 例4、右图是紫外显微镜中牛顿物镜的原理图．在一凹面反射镜的中心开一小孔，凹面镜的曲率半径为8cm，在镜心右侧2cm处有一个小平面镜，若在凹面镜左方距小孔1 cm处有一小物AB，长O.1cm．试求AB通过此系统后成像的位置和大小，并说明像的性质． 例5、如图，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1、O2相距2.6R。在主轴上和O1相距0.6R处有一光源S。求经过两个面镜各反射一次后所成像的位置。 （注意，研究不同的光学器件时，可能需要重新选择坐标原点，建立新的坐标系！注意坐标的变换） 例6、如图所示，在半径R=2m、孔径d=O.5m的凹面镜的焦点位置上放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都将能到达该圆形屏幕，试求该圆形屏幕的直径． （注意本题是否满足近轴光线的条件！） *例7、（需要一定的解析几何基础，没有学过的同学可以记住本题结论） （1）一抛物反射镜方程为y2=2ax,当受到一束平行于x轴的平行光照射时，其反射光线与x轴相交于何处? （2）椭球体形状的面镜的焦点处有一光源s，则成像的位置在哪里？ （3）一支双曲面形状的面镜的焦点处有一光源s，则成像的位置在哪里？ 五、折射定律 入射光线、折射光线和法线在同一平面，分别位于法线两侧，入射角和折射角的正弦之比等于折射率的反比。 sinin2??n21 n1sini?n2sinr sinrn1其中，n1，n2表示入射空间介质和反射空间介质的绝对折射率，简称折射率。 真空的折射率为1，空气约等于1，其他介质折射率都大于1。 n21表示介质2相对于介质1的相对折射率 折射率为n的介质中，光速为： v?c n 不同频率的光在同一介质中的折射率也略有不同，频率越大的光折射率越大。紫光的折射率大于红光。 六、全反射 当光由光密介质（折射率大的介质）向光疏介质（折射率小的介质）中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全反射现象。思考：为什么会发生全反射现象？发生全发射的条件是什么？ 临界角：sinC?1 n 七、三棱镜的折射 例8、已知三棱镜的顶角为α，折射率为n，求 （1）当第一次折射入射角为i1，第二次折射折射角为i4时，求光的偏转角，即折射光线和反射光线的夹角 *（2）什么情况下光的偏转角最小 （3）当顶角很小时，求证??(n?1)? 10.3平面球面折射成像 一、平面折射成像 例1、水下有一发光体S，人在其正上方的空气中观察。设水的折射率为n，空气的折射率为n′，求证： （1）物距和像距的关系为 sn?。 s'n'（2）线放大率为m=1 例2、有一只厚底玻璃缸，底厚6cm，内盛深4cm的水，已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少？ 二、球面折射成像 例3、如图，球形折射面两侧介质的折射率分别为n、n′，C为球心，O为顶点，球面曲率半径为r。考虑近轴光线，求证： n'nn'?n??（阿贝不变式） s'sRn'nR，物方焦距为f?R （2）像方焦距为f'?n'?nn?n'ns'（3）线放大率为m? n's（1） *（4） ff'??1（高斯公式） ss'**（5）xx'?ff'（牛顿公式），其中，x为物相对于物方焦点的坐标，x’为像相对于像方焦点的坐标 注意 1、以上公式的前提是近轴光线成像 2、以上公式对从球面的两边入射均成立 3、当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面折射成像公式 4、当 n= -n‘ 时，公式退化为球面反射成像公式 例4、如图所示，一直径为4cm的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径为2cm的半球形．长为O.1cm的物S垂直于棒轴上离棒的凸面顶点8cm处，试求像的位置及大小，并作光路图． 例5、体温计横截面如图所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径．C为圆柱面中心轴位置．玻璃的折射率n=3／2，E代表人眼．求图示横截面内人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数． 例6、有一种高脚酒杯，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R=1.50cm，O到杯口平面的距离为8.Ocm．在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm．这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物，已知玻璃的折射率n2=1.56，酒的折射率n2=1.34．试通过分析计算与论证解释这一现象． 例7、如图所示，在直立的平面镜前放置一半径为R的球形玻璃缸，缸壁很薄，其中心距离镜面3R，缸中充满水，远处E点一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸．一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动．求观察者看到的鱼的两个像的相对速度．(水的折射率n=43) 例8、内径为r，外径为R(r 10.4薄透镜成像 一、薄透镜成像 例1、设透镜由折射率n的玻璃制成，放在空气中，两个球面的半径分别为r1和r2，透镜厚度忽略不计。对于近轴光线，在笛卡尔坐标规则下，求证： （1） 1111??(n?1)(?) s'sr1r2（2）透镜制造者公式： 像方焦距： 111?(n?1)(?)； f'r1r2111?-(n?1)(?) fr1r2物方焦距： （3）薄透镜成像公式： 111?? s'sf'（4）线放大率：m?s' s 注意： 1、以上公式的前提是 (1)薄透镜 (2)近轴光线成像 (3)两侧均为空气 2、以上公式对凸透镜和凹透镜均成立 3、不管透镜两边球面的半径大小，两侧的焦距大小一定相等（要求两侧折射率相同） 4、物方是指入射光线所在的一方 像方是指折射光线所在的一方 思考：如果透镜两边不是空气，分别是折射率为n1、n2的介质，以上公式分别有什么变化？ 例2、如图所示，薄凹透镜L1和薄凸透镜L2共轴，放置在空气中，L1的焦距为20cm，L2的焦距为10cm，L1和L2相距置10cm，物S在L1前方20cm处.试求像的位置和横向放大率. L1L2 S 例3、透过焦距为0.30m的凸透镜观察在平静水面下0.04m的一条小鱼，若透镜在水面上方0.02m，观察者看到的鱼位于何处？假设鱼位于透镜的主光轴上，水的折射率为1.33 例4、有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0 cm，折射率n?1.5。在其下表面下2.0 cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f?30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少? 例5、如图所示，折处放置射率n?1.5的全反射棱镜上方0.06m处放置一个物体AB，棱镜直角边长为0.06m，棱镜右侧0.10m一个焦距f1?0.10m的凸透镜，透镜右侧0.15m处再放置一个焦距f2??0.10m的凹透镜，求该光学系统最终成像的位置和像放大率。 例6、如图所示，已知一条入射及其经过透镜折射后的出射光线，求此透镜是凸透镜还是凹透镜，用作图法找到透镜的物方焦点和像方焦点。 例7、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放 置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上，如图所示。 （1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实； （2）用计算法求出此像的位置和大小. 例8、目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换(或称整形)．如果能把一个半导体激光二板管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化情况来说明． 如图，S1、S2、S3是等距离(h)地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α=arctan(1／4)的圆锥形光束．现使用三个完全相同的、焦距为f=1.50h、半径为r=0.75h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴(以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线)上距离S2为L=12.Oh处的P点．(加工时可对连镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．) (1)求出组合透镜中每个透镜光心的位置． (2)说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据． 10.5光学器件 渐变介质 一、放大率 1、线放大率m（横向放大率） 2、视角放大率M（一般显微镜、望远镜的放大率，默认都是指视角角放大率） 视角放大率的定义为：仪器所成的像对人眼所成的张角α′除以物体直接对人眼所成的张角α。 二、几种常见的光学器件 1、眼睛 由眼睛的调节作用（或称调焦）所能看得清楚的最远和最近两点，分别叫做远点和近点.正常眼睛远点在无穷远处，近点约在10厘米处。 当物体在适当距离处，在视网膜上造成的像最清晰、最舒适且不易疲劳，这个距离称为明视距离，对正常视力的眼睛，明视距离通常为25cm． 例1、装在门上的门镜(又称“猫眼”)由一个凹透镜和一个凸透镜组成．有一种门镜的凹透镜焦距为1.Ocm，凸透镜焦距为3.5cm，两透镜之间的距离为2.1cm，如图所示．试根据这些数据说明，人在室外看不清室内的景物，而在室内的人却能清楚地看见室外的人．
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