《应用统计》所有答案

三、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

y?1?2?e,0?x?1,y?01、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??2，问X与Y是否相互独立，并说

?0,其他?明理由。 解：fX(x)????0?1,0?x?1 f(x,y)dy??0,其他?y??112?fY(y)??f(x,y)dx??2e,y?0 0??0,其他因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，（2分）所以X与Y相互独立。

?0,x?0?x2、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?8，求E(X),D(X)。

?8?1,x?8?1?,0?x?8解：f(x)??8 ??0，其他81E(X)??x?dx?4 088164E(X2)??x2?dx? 083D(X)?E(X2)?[E(X)]2?6416?16? 333、设Xi(i?1,2,?,50)是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P(0.03)。令Z??Xi?150i，试用中心

极限定理计算P{Z?3}。(附1.5?1.2247,?(1.225)?0.8907，结果保留小数点后三位) 解：E(Xi)???0.03，（2分）D(Xi)???0.03??(i?1,2,?,50)，（2分）记Z?2?Xi?1ni。由独

立同分布序列的中心极限定理，有P{Z?3}?P{Z?50?0.0350?0.03Z?50?0.0350?0.03?3?50?0.03} 50?0.03?P{?1.225}

?1?P{Z?50?0.0350?0.03?1.225} ?1??(1.225)（2分）?0.1093

4、随机变量X~N(10,22)，求（1）P{X?13}；（2）P{|X?10|?2}。

(1.5)?0.9332，?(1)?0.8413） （附?解：P{X?13}?P{X?13}?1?P{X?13}?1?F(13)?1??(1.5)?0.0668 由正态分布的定理可知，随机变量P{|X?10|?2}?P{|X?10~N(0,1),因此 2X?10X?10|?1}?P{?1??1}??(1)??(?1)??(1)?(1??(1)) 22?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.68265、设二维随机变量（X,Y）的分布列为如下表，则求:

Y -1 X 0 1 （1）（X,Y）关于X的边缘分布列 （2）（X,Y）关于Y的边缘分布列 （3）X与Y是否独立

解：（1）、（X,Y）关于X的边缘分布列

0 1 31 41 41 6X 0 7 121 5 12Pi? （2）、（X,Y）关于Y的边缘分布列

Y -1 7 120 5 12P?j5 12 （3）、可知P{Y?0}?

P{X?0|Y??1}?P{X?0,Y??1}7? P{Y??1}127749???P{X?0,Y??1} 1212144P{X?0}P{Y??1}?X与Y不是独立

?sinx,0?x?a?6、设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??，试确定常数a并求P(X?)。

6其他?0,解： ?????f(x)dx??sinxdx0a??cosx0?1?cosa?1 a得 cosa?0 ， a?2π

π P?1?f()?1?6?π60sinxdx?32 四、应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

1、根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(u,?2)（单位：kg）。已知??8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中，随机抽取10个样本，测得样本均值x?575.2kg。问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？(??5%)（附u0.05?1.645，u0.025?1.96，10?3.162）

解：（1）H0:??570;H1:??570.

u?x??0?0/n～N(0,1) ??已知u575.2?5708/100.025?2.0553?1.96

因2.0553>1.96,拒绝原假设,故不能认为这批特种金属丝的平均折断力为570kg.

2、从一批零件中，抽取9个零件，测得其平均直径（毫米）为19.9。设零件直径服从正态分布N(u,?)，

21.96.21且已知??0（毫米），求这批零件直径的均值u对应于置信度0.95的置信区间。（附u，结0.025?果保留小数点后两位） 解： ， ??19.9（毫米）1???0.95???0.05，u??u0.025?1.96 2 ?0una2?0.219?1.96?0.14 ? ?的关于置信度0.95的置信区间为

x??0nu????x?2?0nu? 2即 19.9?0.14???19.9?0.14 即 19.76???20.04

3、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7， （1）求目标被命中的概率

（2）若已知目标被命中，求它是甲射中的概率。

解：（1）P(B)=P(A1)+(A2)-P(A1A2)=P(A1)+(A2)-P(A1)P(A2)

=0.6+0.7-0.6?0.7=0.88 （2）P(A1|B)=P(A1B)P(A1)0.615=== P(B)0.8822P(B)4、某工厂生产的一种零件，其口径X（单位：mm）服从正态分布N(u,?2)，现从某日生产的零件中随机抽取9个，测得其平均口径为14.9（mm），已知零件口径X的标准差??0.15，求u的置信度为0.95的置信区间。（u0.025?1.96，u0.05?1.645）

19解：x??xi?14.91 9i?1当置信度1???0.95时，??0.05，u的置信度0.95的置信区间为

[x?u?2?n,x?u?2?n]?[14.91?1.96?0.150.15,14.91?1.96?]?[14.812,15.008] 33