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∴b＝5，6，7， ∴a＝8，b＝5，c＝4，
a＝8，b＝6，c＝5或4或3， a＝8，b＝7，c＝6或5或4或3或2．
因此满足条件的三角形共有1+3+5＝9（个）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 37．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F． 求证：
．
【分析】连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证． 【解答】证明：如图，连接BE、AD， ∵△BDE与△DCE等高，∴
＝
，
∵△DCE与△ADE等高，∴＝，
∵△ADF与△BDF等高，∴＝，
∵△AEF与△BEF等高，∴＝，
∴＝，
∴??＝??＝1．
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【点评】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比．
38．附加题：如图，已知△ABC的面积为1cm，如果AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF的面积．
2
【分析】连接AE、BD、CF，把△DEF分解成七部分，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，结合△ABC的面积，求出另外六个三角形的面积，△DEF的面积即可求出． 【解答】解：如图，连接AE、BD、CF， ∵AD＝2AC， ∴AC＝CD，
∴S△BCD＝S△ABC＝1，S△ACF＝S△CDF， ∵BF＝3BA， ∴AF＝2AB，
∴S△ACF＝2S△ABC＝2，S△AEF＝2S△AEB， ∵CE＝4CB， ∴BE＝3BC，
∴S△BDE＝3S△BCD＝3，S△AEB＝3S△ABC＝3， ∴S△BEF＝S△AEB+S△AEF＝3+6＝9，
S△DCE＝S△BCD+S△BDE＝1+3＝4， S△ADF＝S△ACF+S△CDF＝2+2＝4，
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∴△DEF的面积＝1+9+4+4＝18．
【点评】本题比较复杂，主要根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解，作辅助线把△DEF分成七个小三角形是解题的关键．
39．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．
【分析】在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，根据三角形三边关系及角平分线，中线和高的知识即可证明．
【解答】证明：∵BE和CF是高，∵AB＞AC∴
2
∴△AFC∽△ABE，
＜1，
2
＜1，AF＜AE
2
2
2
2
2
2
∴（AC）﹣（CF）＜（AB）﹣（BE）即（AC）+（BE）＜（AB）+（CF）， ∵AC×BE＝AB×CF
∴（AC）+2 AC×BE+（BE）≤（AB）+2AB×CF+（CF）， ∴（AC+BE）≤（AB+CF）， ∴AC+BE≤AB+CF，即证明之．
2
2
2
2
2
2
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【点评】本题考查了三角形三边关系及及角平分线，中线和高，难度较大，关键是根据已知条件进行变形求证．
40．已知△ABC的三边长为5，12，3x﹣4，周长为偶数，求整数x及周长．先求x的取值范围．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定整数x的值，然后根据其周长为偶数确定其周长即可． 【解答】解：∵12﹣5＜3x﹣4＜12+5，即
，而x为整数，
∴x＝4、5或6．若周长12+5+3x﹣4＝13+3x是偶数，则x为奇数， ∴x＝5，从而周长为5+12+3x﹣4＝28．
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【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
41．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？ 【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004中选k﹣1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【解答】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数， 所以n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，
解得k≥17． 故k的最小值为17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16个数，从而列不等式求出k的最小值．
42．已知：如图，△ABC中，中线BD和中线CE相交于点O，求证：BO＝2DO．
【分析】连接DE，根据三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE＝BC，进而根据平行线分线段成比例定理即可证得结论． 【解答】证明：连接DE， ∵BD、CE是AC和AB的中线， ∴AE＝BE，AD＝CD，
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