2017-2018高三数学专题复习-立体几何（3）空间直角坐标系与空间向
量
一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则：
遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。
立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），
????????? ∴BC1?(?2，?3，2)，CD?(0，?1，0)． ????????? 设BC1与CD所成的角为?，
?????????BC1?CD317 则cos??????． ??????17BC1CD（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系
作法：
例2 如图2，在三棱柱
充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：
（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直
知AB?2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝
角坐标系
例1 已知直四棱柱
ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为
棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已
?．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切3值．
ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是
直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，
解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、
BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系． 由于BC＝1，BB1＝2，AB＝2，∠AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建
?BCC1＝，
3 ∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，2）、B1（０，2，
1
?31??33??，0?，0?０）、c??2，?、C1??2，?．设22?????3?13??a?E?，a，0且， ??2?22??ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，
3），
???????? 由EA⊥EB1，得EA?EB1?0，
????33 即??a，2?2?a，0????2，????2，?
????33??a(a?2)?a2?2a??0，∴441??3??a??a??????0， 2??2?? 即a?13或a?（舍去）．故22?31?E?，0??2，?． 2??????????????????? 由已知有EA?EB1，B1A1?EB1，故二面角A－EB1－A1的平面角?的大小为向量
???????∴AB＝（０，2，０），VA＝（1，０，－3）．
?????????B1A1与EA的夹角．
??????? 由AB?VA?(0，2，0)?(10，，?3)?0，得 AB⊥VA．
又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，
∴ AB⊥平面VAD；
?13?0，? （2）设E为DV的中点，则E???2，? 2???????3??33????3?0，?2，? ∴EA?????2，?，EB???2，?，22????????????? 因B1A1?BA?(0，0，2)，
??????31EA???，?，2??2? 2???????????EA?B1A122故cos?????，即tan?? ???????23EAB1A1（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面
????DV?(1，0，3)．
2
?????????33? ∴EB?DV??2，?0，3)?0， ??2，??(1，2???????3ah? ∴BE???a，?，?，
22??2?????a3h?DE??，a，?．
?222? ∴EB⊥DV．
又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．
????????????????EA?EB21 ∴cosEA． ，EB??????????7EAEB????????????????BE?DE?6a2?h2 ∴cosBE，， DE??????????2210a?hBEDE?6a2?h2 即cos∠DEB?； 2210a?h故所求二面角的余弦值为21． 7（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，
????????VC?0，即所以BE?ah??3?a，?，??(?a，a，?h)?0， ?222??32a2h2∴a???0，∴h?2a． 222（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥
V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．
（1）求∠DEB的余弦值；
（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、
?????????6a2?h21DE???这时cosBE，，即
10a2?h231cos∠DEB??．
3引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．
（五）利用图形中的对称关系建立坐标系
D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、E??，，?
3
?aah??222?
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－
d???????n?AQ?0，??2x?z?0，则????得取x＝1，得?? ??x?y?0，?n?AD?0，?n=(1，?1，?2)．点P到平面QAD的距离
????PQ?nn?22．
ABCD的高都为2，AB＝4． （1）证明：PQ⊥平面
点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．
ABCD；
（2）求异面直线AQ与
PB所成的角；
（3）求点P到面QAD的距离． 简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥
BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别
，DB，QP为x，y，z轴建立空间以直线CA直角坐标系（如图1），易得
????????AQ?(?22，0，?2)，PB?(0，22，?2)，
????????????????AQ?PB1cos?AQ，PB???????????．
AQPB31 所求异面直线所成的角是arccos．
3（3）由（2）知，点
????????D(0，?22，，0)AD?(?22，?22，，0)PQ?(0，0，?4)设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，
4
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