1 1 【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点48离散型随
机变量及其概率的分布（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式的运用 二.知识梳理
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量. 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5.离散型随机变量的分布列:
ξ P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … … 6.离散型随机变量分布列的两个性质： ①pi?0(i?1,2,…)； ②P1+P2+…=1. 7．如果随机变量X的分布列为
X P 1 p 0 q 其中0 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：CMCN－M* P(X＝k)＝n (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N，则 CN称分布列 kn－k X 00 CM·CN－M nCNn－01 CMCN－M nCN1n－1… … m CMCN－M nCNmn－mP 为超几何分布列 9.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，PAB 用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝ PA nAB 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝. nA(2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1②如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P (C|A)． 10．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称 A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B)，P(AB)＝ P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)． (3)若A与B相互独立，则 A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则 A与B相互独立． 11．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为 Cnp(1－p) kk n－k (k＝0,1,2，…，n) (p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为二项分布 ，记为 X～B(n，p) 三．考点逐个突破 1.离散型随机变量分布列的性质 例1设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列． [解] 由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为： X 0 1 2 3 4 2X＋1 |X－1| (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 P (2)|X－1|的分布列： |X－1| P 2. 离散型随机变量的分布列 1 1 1 3 0 5 1 7 2 9 3 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0.2 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率． [解] (1)[解法一] “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C5C2C2C22 ＝. 3 C103 [解法二] “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件． C5C2C8112因为P(B)＝3＝，所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. C10333(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5. C2C2＋C2C21C4C2＋C4C22 P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝； 33 C1030C1015C6C2＋C6C23C8C2＋C8C28 P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 33 C1010C1015所以随机变量X的概率分布列为： X P 2 1 303 2 154 3 105 8 1521 12 21 12 21 12 21 12 121 3111 (3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则 2313 P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 1510303. 超几何分布 例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白7 球的概率是. 9(1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望E(X)． [解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A， C10－x7 设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－2＝，得到x＝5. C109 C5C5 (2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P (X＝k)＝3，k＝0,1,2,3. C10于是可得其分布列为 X P 0 1 121 5 122 5 123 1 12k3－k 2 15513X的数学期望E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝ 1212121224. 条件概率 例4.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． 21 [解] (1)①P(A)＝＝. 63 10 ②∵两个骰子的点数共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共10个．∴P(B)＝＝ 365. 18 5 ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝. 365365PAB (2)由(1)知P(B|A)＝＝＝. PA112 35. 相互独立事件的概率 例5.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则4321 即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且 5555各轮问题能否正确回答互不影响．
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