新版高考数学（理）一轮知识点专题讲座：离散型随机变量及其概率的分布（含答案）

(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．

4

[解] (1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝，P(A2)

5321

＝，P(A3)＝，P(A4)＝，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率P4＝P(A1A2A3A4)＝555432496P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝×××＝.

5555625(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)

142433101

＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)·P(A2)P(A3)＝＋×＋××＝ 5555551256.独立重复试验与二项分布

例6.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业111

建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、，现在3名工人独立地从中

236任选一个项目参与建设．

(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列． [思路点拨] (1)选择的项目所属类别互不相同的情况共有A3种，每种之间是互斥的． (2)寻找ξ与选择民生工程项目的人数η的关系，根据η服从二项分布，可求ξ的分布列． [解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，11

Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝

231

. 6

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

1111

P＝3！P (A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.

2366

(2)[解法一] 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，

11313

由已知，η～B(3，)，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3()＝，

33272224212211

P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C3()()＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C3()()＝，

3393398023

P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3()＝.故ξ的分布列是

327

3

ξ P 0 1 271 2 92 4 93 8 27[解法二] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.

112

由已知：D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，

2632k2k13－k

所以ξ～B(3，)，即P(ξ＝k)＝C3()()，k＝0,1,2,3.

333故ξ的分布列是

ξ P

0 1 271 2 92 4 93 8 27