2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题及解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x连续，则 ax?b,x?0? (A) ab?【答案】A 【详解】由lim?x?01． 2(B) ab??1． 2(C) ab?0． (D) ab?2．
11?cosx1??b,得ab?.
2ax2a（2）设函数f?x?可导，且f(x)f'(x)?0则
(A) f?1??f??1? ． (B) f?1??f??1?． (C) f?1??f??1?． 【答案】C
(D) f?1??f??1?.
f2(x)]??0,从而f2(x)单调递增,f2(1)?f2(?1). 【详解】f(x)f?(x)?[2（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿着向量n?(1,2,2)的方向导数为 (A) 12． 【答案】D
(B) 6．
(C) 4．
(D)2 ．
22【详解】方向余弦cos??122,cos??cos??,偏导数fx??2xy,fy??x,fz??2z,代入33cos?fx??cos?fy??cos?fz?即可.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
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(A) t0?10． 【答案】C
【详解】在t0?25时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处. （5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 (A) E?αα不可逆． (C) E?2αα不可逆． 【答案】A
【详解】可设???????TT(B) 15?t0?20． (C) t0?25． (D) t0?25．
(B) E?αα不可逆． (D) E?2αα不可逆．
TT???T,则??T的特征值为1,0,,0,从而E???T的特征值为
0,1,,1,因此E???T不可逆.
?200??210??1???????2（6）设有矩阵A??021?，B??020?，C???
?001??001??2??????? (A)A与C相似，B与C相似． (B) A与C相似，B与C不相似．
(C) A与C不相似，B与C相似． (D) A与C不相似，B与C不相似． 【答案】B
【详解】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以
A可对角化, B则不行.
（7）设A,B为随机事件，若0?P(A)?1，0?P(B)?1，则P(A|B)?P(B|A)的充分必要条件
(A) P(B|A)?P(B|A)． (C) P(B|A)?P(B|A)． 【答案】A
【详解】由P(A|B)?P(A|B)得
(B) P(B|A)?P(B|A)． (D) P(B|A)?P(B|A)．
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB),即??P(B)P(B)1?P(B)P(AB)>P(A)P(B);
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由P(B|A)?P(B|A)也可得P(AB)>P(A)P(B). （8）设X1,X2,1n,Xn(n…2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下
ni?1列结论不正确的是 (A)
22服从分布 ． (X??)??ii?1n(B) 2(Xn?X1)2服从?2分布．
(C)
?(Xi?1ni?X)2服从?2分布． (D) n(X??)2服从?2分布．
【答案】B
nnXi??22【详解】~N(0,1)?(Xi??)~?(n),?(Xi?X)2~?2(n?1);
1i?1i?1(Xn?X1)2122X~N(?,),n(X??)~?(1);Xn?X1~N(0,2),~?2(1).
n2
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．（9）已知函数f(x)?【答案】0 【详解】f(x)?1,f(3)(0)? ． 21?x(?1?x?1),没有三次项.
124?1?x?x?21?x（10）微分方程y???2y??3y?0的通解为 ．
?x【答案】y?e(C1cos2x?C2sin2x)
?x2【详解】特征方程r?2r?3?0得r??1?2i,因此y?e(C1cos2x?C2sin2x).
（11）若曲线积分 ． 【答案】?1
xdx?aydy22?Lx2?y2?1在区域D?(x,y)x?y?1内与路径无关，则a?
??【详解】有题意可得
??Q?P?,解得a??1. ?x?xn?1（12）幂级数
?(?1)n?1nxn?1在(-1,1)内的和函数S(x)? ．
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【答案】
1 2(x?1)【详解】
?(?1)nxn?1n?1?n?1???[(?x)n]??n?1?1.
(x?1)2?101???（13）A??112?，?1，?2，?3是3维线性无关的列向量，则?A?1,A?2,A?3?的秩
?011???为 ．
【答案】2
【详解】r(A?1,A?2,A?3)?r(A)?2
（14）设随即变量X的分布函数F(x)?0.5?(x)?0.5?(布函数，则EX? ． 【答案】2 【详解】EX?x?4)，其中?(x)为标准正态分2?????xf(x)dx????0x[0,5?(x)?0.5x?4?()]dx?2. 22三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸指定位置上． ．．．（15）（本题满分10分）．
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx),求
dxxd2y,2x?0dx.
x?0【答案】
y?f(ex,cosx)
dy?f1'ex?f2'sinx,dxdy?x?0?f1'(1,1)dx 2 dy''x''x'x''x'''?fe?fsinxe?fe?(fe?fsinx)sinx?fcosx11121212222dxd2y''x?0?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)2dx???（16）（本题满分10分）．
求limkkln(1?).
n??n2n【答案】
数学（一）试题 第4页（共4页）
lim?kkln(1?)2n??nk?1n?122nn??1?lim?2ln(1?)?2ln(1?)?...?2ln(1?)?n??nnnnnn??1?1122nn??lim?ln(1?)?ln(1?)?...?ln(1?)?n??nnnnnnn??111??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx200211111?x2ln(1?x)??x2dx00221?x111x2?1?1?ln2??dx0221?x11111?ln2?[?(x?1)dx??dx]01?x22011111?ln2?[(x2?x)?ln(1?x)]002221111?ln2?(?1?ln2)?2224（17）（本题满分10分）．
已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值. 【答案】x?y?3x?3y?2?0①，
方程①两边对x求导得：3x?3yy?3?3y?0②， 令y?0，得3x?3,x??1. 当x?1时y?1，当x??1时y?0.
方程②两边再对x求导：6x?6y(y)?3yy?3y?0， 令y?0，6x?(3y?1)y?0，
'2'''22'''''222''33
3''，当x??1，y?0时y?6. 2 所以当x?1时函数有极大值，极大值为1，当x??1时函数有极小值，极小值为0.
当x?1，y?1时y??'' （18）（本题满分10分）．
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0，lim?x?0f(x)?0.证明： x（I）方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
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