浙江省20届高考数学二轮复习 第5部分 高考22题逐题特训 [74分] 解答题标准练(一)

[74分] 解答题标准练(一)

πππ

<α

. 7

(1)求sin α的值；

απ??απ?(2)求2cos??2－3?sin?2＋6?的值． π231

α＋?＝解 (1)S△AOC＝×12×sin??3?7， 2π43

α＋?＝∴sin??3?7， ππ∵<α<， 62ππ5π∴<α＋<， 236π1

α＋?＝－， ∴cos??3?7ππ

α＋－? sin α＝sin??33?ππππα＋?cos－cos?α＋?sin ＝sin??3?3?3?3＝

4311353×＋×＝. 727214

απ??απ?(2)2cos??2－3?sin?2＋6? πα??απ?＝2cos??3－2?sin?2＋6? ππα???απ?＝2cos?2－??6＋2?sin?2＋6?

??

απ?π8

＋＝1－cos?α＋?＝. ＝2sin2??26??3?7

2.如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中ABCD为矩形，△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，AB＝2AD＝2AE＝2.

(1)求证：平面ACE⊥平面BCE；

(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．

(1)证明 ∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE ＝AB， ∴BC⊥AB， ∵BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面ABE， 又AE?平面ABE， ∴BC⊥AE，

又AE⊥BE，BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE， ∴AE⊥平面BCE， 而AE?平面ACE， ∴平面ACE⊥平面BCE. (2)解 方法一 ∵AB∥CD，

∴CD与平面ACE所成角的大小等于AB与平面ACE所成角的大小． 过B作BF⊥CE于F，连接AF，

∵平面ACE⊥平面BCE，平面ACE∩平面BCE＝CE，BF?平面BCE， ∴BF⊥平面ACE.

∴∠BAF即为AB与平面ACE所成的角． 由BC＝1，BE＝3，得CE＝2，BF＝BF3∴sin∠BAF＝＝，

AB4

∴直线CD与平面ACE所成角的正弦值为

3. 43， 2

方法二 以E为原点，EB，EA所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系E－xyz，

则E(0,0,0)，A(0,1,0)，C(3，0,1)，D(0,1,1)， →→→

于是EA＝(0,1,0)，EC＝(3，0,1)，CD＝(－3，1,0)， 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， →?EA＝0，?n·?y＝0，由?得?

→3x＋z＝0，??EC＝0，?n·

令x＝1，则n＝(1,0，－3)， →

设CD与n的夹角为θ， →|CD·n|3

所以|cos θ|＝＝，

4→

|CD||n|

所以CD与平面ACE所成角的正弦值为

3. 4

3．(2019·台州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n，n∈N*. (1)求证数列{an＋1}为等比数列，并求通项公式an；

(2)若对任意的n∈N*都有λan≤Sn＋n－n2，求实数λ的取值范围． 解 (1)由Sn＝2an－n， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－n＋1. 两式相减可得，an＝2an－1＋1，

an＋1＝2(an－1＋1)，由S1＝2a1－1，得a1＝1， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以an＋1＝2n1(a1＋1)＝2n，an＝2n－1. (2)由λan≤Sn＋n－n2，

得λ(2n－1)≤2n1－2－n＋n－n2， n2

故λ≤2－n，

2－1n

所以λ≤?2－2n－1?min.

??

?n＋1?2n2n2

设f(n)＝n，f(n＋1)－f(n)＝n＋1－n 2－12－12－1[－?n－1?2＋2]·2n－?2n＋1?

＝. ＋?2n1－1??2n－1?

当n＝1时，f(2)－f(1)>0，n≥2时，f(n＋1)－f(n)<0，

2

＋－

4

所以f(1)…>f(n)…，f(n)的最大值为f(2)＝，

3n222－n的最小值为，

32－12－∞，?. 所以λ的取值范围是?3??

4．(2019·余高等三校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M与点F关于原点对称． (1)过点M作直线l与抛物线相切，求直线l的方程； (2)椭圆C以MF为长轴，离心率为

2

，点P是椭圆C上的一点，过点N(p,0)的直线交抛物2

线于A，B两点，若|AB|≤26p，求△ABP面积的最大值． 解 (1)显然，切线斜率一定存在． px＋?， 设切线方程为y＝k??2?p??y＝k?x＋?，

?2?联立? ??y2＝2px，得

k2x2＋(k2－2)px＋

p2k2

＝0， 4

依题意知Δ＝(k2－2)2p2－k4p2＝0， 得k2＝1，即k＝±1， p∴切线方程为x±y＋＝0.

2

(2)设直线AB：x＝my＋p，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?x＝my＋p，?联立?2

?y＝2px，?

得y2－2pmy－2p2＝0， ∴Δ＝4p2(m2＋2)>0恒成立，

|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝2p?1＋m2??m2＋2?， 由|AB|≤26p?0≤m2≤1， x2y2

依题意知椭圆C：2＋2＝1，

pp48

作直线平行于AB且与椭圆相切，则当点P为距直线AB较远的切点时，△ABP面积最大， 设切线方程为x＝my＋t(t<0)， 则dP－直线AB＝

|p－t|1＋m2

，