一、基础达标
12
1.若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( ) A.2 C.22
B.2 D.4
12
解析 由条件a＋b＝ab知a，b均为正数.因而可利用基本不等式求解. 1212由a＋b＝ab知a>0，b>0，所以ab＝a＋b≥212??a＝b，?12??a＋b＝答案 C
11
2.已知a＞0，b＞0，则a＋b＋2ab的最小值是( ) A.2 C.4
B.22 D.5
1
ab＋2ab≥4，当且仅当a＝b，ab＝1时，等号成
2
ab，即ab≥22，当且仅当
44即a＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小值为22. ab，
11
解析 a＋b＋2ab≥2
立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4. 答案 C
?1a?
3.已知不等式(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值
??为( ) A.2
B.4
C.6
D.8
axyy?1a?解析 (x＋y)?x＋y?＝1＋a＋y＋x≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当x＝a
??时，等号成立.
?1a?∵(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，∴需(a＋1)2≥9.
??∴a≥4，故选B. 答案 B
11
4.设a＞0，b＞0，若3是3与3的等比中项，则a＋b的最小值为( )
a
b
A.8 C.1
B.4 1D.4 解析 ∵3是3a与3b的等比中项， ∴(3)2＝3a·3b， 即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
11a＋ba＋b?ba?此时a＋b＝a＋b＝2＋?a＋b?≥2＋2＝4，
??111
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，a＋b取得最小值4. 答案 B
5.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 令ab＝t(t＞0)，则由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3(当且仅当a＝b时取等号)， 得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0. 解得t≥3或t≤－1(不合题意). ∴ab≥3.
∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号. 答案 [9，＋∞)
x6.若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________.
x＋3x＋1解析 ∵a≥
xx2＋3x＋1
＝1
， 1x＋x＋3
1
而x＋x≥2，当且仅当x＝1时等号成立. 111∴1的最大值为5，∴a≥5. x＋x＋3
?1?答案 ?5，＋∞?
??
7.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、加油费用共9千元，汽车的年维修费用逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?
解 设这种汽车使用n年后报废最合算，这n年中汽车每年的平均费用为y万元.
n（n－1）10＋0.9n＋0.2n＋·0.2
210n
则y＝＝nn＋10＋1≥3. 10n
当且仅当n＝10，即n＝10时，取“＝”. 答：这种汽车使用10年后报废最合算. 二、能力提升
8.若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A.6＋23 C.6＋43
B.7＋23 D.7＋43
解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.
ab＞0，????a＞0，
由题意得?ab≥0，所以?
??b＞0.??3a＋4b＞0，又log4(3a＋4b)＝log2ab， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 43
所以3a＋4b＝ab，故a＋b＝1.
3a4b?43?
所以a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝7＋b＋a≥7＋
??
2
3a4b3a4b·＝7＋43，当且仅当bab＝a时取等号.
故选D. 答案 D
9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5 km处 C.3 km处
B.4 km处 D.2 km处
20
解析 设仓库建在离车站x由已知得，y1＝x，y2＝0.8x，费用之和y＝y1＋y220
＝0.8x＋x≥2A. 答案 A
10.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元).
解析 利用均值(基本)不等式解决问题.
4
设该长方体容器的长为x m，则宽为x m.又设该容器的造价为y元，则y＝20×44?4??4?＋2?x＋x?×10，即y＝80＋20?x＋x?(x＞0).因为x＋x≥2????
4
x·x＝
2020
0.8x·x＝8，当且仅当0.8x＝x，即x＝5时等号成立，故选
4??
4?当且仅当x＝x，即x＝2时取“＝”?，所以ymin＝80＋20×4＝160(元). ??答案 160
11
11.若a>0，b>0，且a＋b＝ab. (1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
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