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2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5训练:第一讲 不等式和绝对值不等式一 2 Word版含答案

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112

解 (1)由ab=a+b≥,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.

ab故a3+b3≥2a3b3≥42,且当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为42. (2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.

由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.

ab

12.已知a,b,x,y>0,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,x+y=1,x+y的最小值为18,求a,b. ?ab?

解 x+y=(x+y)?x+y?

??

bxay

=a+b+y+x≥a+b+2ab=(a+b)2, bxay

当且仅当y=x时取等号. 故(x+y)min=(a+b)2=18, 即a+b+2ab=18,① 又a+b=10,②

??a=2,??a=8,

由①②可得?或?

???b=8?b=2.三、探究与创新

13.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水

中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)

k

解 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意y=ab,其中k为比例系

数(k>0).又据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0). ∴b=

30-a2+a

(由a>0,b>0可得a<30).

kk∴y=ab=. 2

30a-a

2+a

令t=a+2(t>0),则a=t-2. 30a-a230(t-2)-(t-2)2从而= t2+a34t-t2-64?64??t+t?. ==34-

t??kkk

∴y=ab≥=18.

64

34-2t·t

6464

当且仅当t=t,即a+2=时取等号,∴a=6.

a+2

由a=6可得b=3.综上所述:当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.

k

法二 设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y=ab,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设2×2b+2ab+2a=60, 即ab+a+2b=30(a>0,b>0).

∵a+2b≥22ab(当且仅当a=2b时取等号), ∴ab+22ab≤30,可解得0<ab≤18. 由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3, 即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,

即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

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