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解 (1)由ab＝a＋b≥，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立.
ab故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立. 所以a3＋b3的最小值为42. (2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.
由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
ab
12.已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，x＋y＝1，x＋y的最小值为18，求a，b. ?ab?
解 x＋y＝(x＋y)?x＋y?
??
bxay
＝a＋b＋y＋x≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2， bxay
当且仅当y＝x时取等号. 故(x＋y)min＝(a＋b)2＝18， 即a＋b＋2ab＝18，① 又a＋b＝10，②
??a＝2，??a＝8，
由①②可得?或?
???b＝8?b＝2.三、探究与创新
13.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水
中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)
k
解 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝ab，其中k为比例系
数(k＞0).又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0). ∴b＝
30－a2＋a
(由a＞0，b＞0可得a＜30).
kk∴y＝ab＝. 2
30a－a
2＋a
令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2. 30a－a230（t－2）－（t－2）2从而＝ t2＋a34t－t2－64?64??t＋t?. ＝＝34－
t??kkk
∴y＝ab≥＝18.
64
34－2t·t
6464
当且仅当t＝t，即a＋2＝时取等号，∴a＝6.
a＋2
由a＝6可得b＝3.综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
k
法二 设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝ab，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值.依题设2×2b＋2ab＋2a＝60， 即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0).
∵a＋2b≥22ab(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴ab＋22ab≤30，可解得0＜ab≤18. 由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3， 即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，
即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
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