2020高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应用练习

2019年

10.(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由??a1＝b1＋b2，???a2＝b2＋b3，

即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].

两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]

4＋＝3×???4（1－2n）－（n＋1）×2n＋2? ?1－2?＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.

11.数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，n＝1，2，3，…. (1)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn.证明：当n≥6时，|Sn－2|＜. (1)解 ∵a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a1＋sin2＝a1＋1＝2，

a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝2a2＝4，

当n＝2k－1时，a2k＋1＝a2k－1＋

sin2＝a2k－1＋1，即a2k＋1－a2k－1＝1，

所以数列{a2k－1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a2k－1＝1＋(k－1)＝k， 当n＝2k时，a2k＋2＝a2k＋sin2＝2a2k，

2019年

所以数列{a2k}是首项为2，公比为2的等比数列，因此a2k＝2k.

的通项公式为an＝??n＋1?2，n＝2k－1，故数列{an}??2n

2，n＝2k.(2)证明 由(1)知，bn＝＝，

Sn＝＋＋＋…＋，①

12Sn＝＋＋＋…＋，② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－n2n＋1 ＝－＝1－－.

所以Sn＝2－－＝2－.

要证明当n≥6时，|Sn－2|＜成立， 只需证明当n≥6时，＜1成立.

法一 令Cn＝(n≥6)，则Cn＋1－Cn＝－＝＜0.

所以当n≥6时，Cn＋1＜Cn，因此当n≥6时，Cn≤C6＝＝＜1.于是当n≥6时，＜1.

综上所述，当n≥6时，|Sn－2|＜. 法二 ①当n＝6时，＝＝＜1成立.

②假设当n＝k(k≥6)时不等式成立，即＜1. 则当n＝k＋1时，

（k＋1）（k＋3）（k＋1）（k＋3）2k＋1＝×2k（k＋2） ＜＜1.

由①②所述，当n≥6时，＜1. 即当n≥6时，|Sn－2|＜.

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