人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直

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MN=PO=3,AN=DO=.

在Rt△ANM中,tan∠MAN=,

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

【例7】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的求证:(1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD; (3)EF∥平面PCD.

证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,

平面中点.

∴PE⊥AD.

∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD, ∴PE⊥BC.

(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD, ∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A, ∴PD⊥平面PAB.∵PD?平面PCD, ∴平面PAB⊥平面PCD.

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(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.

∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC. ∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点, ∴ED∥BC,ED=BC,

∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形, ∴EF∥GD.

又EF?平面PCD,GD?平面PCD,

∴EF∥平面PCD.

【例8】如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D是BN的中点.

求证:(1)MD∥平面PAC; (2)平面ABN⊥平面PMC.

3.证明 (1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点, 所以MD∥AN.

又因为AN?平面PAC,MD?平面PAC,所以MD∥平面PAC. (2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点, 所以AB⊥MC.

又因为AB⊥PC,PC?平面PMC,MC?平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB?平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.

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