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13．某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分钟就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分钟就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，问汽车站每隔几分钟发一班车？
14．康大五年级二班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）男生平均成绩为4分，女生的平均成绩为3,25分，而全班的平均成绩为3．6分。如果该班的人数介于30与50之间，问有多少男生和女生参加了测验？
15．甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，试求甲所得的余数。
16．妈妈带一些钱去买布，买2米布后还剩下1．80元；如果买同样的布４米则差2．40元。问：妈妈带了多少钱？
17．第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20－名工人去第二车间，则两个车间的人数相等，求原来两个车间各有工人多少名？
18，两个水池共贮水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池水的吨数与乙池水的吨数相等，两上水池原来各贮水多少吨？
19，两堆煤，甲堆煤有4．5吨，乙堆煤有6吨，甲堆煤每天用去0．36吨，乙堆煤每天用去0．51吨。几天后两堆煤剩下吨数相等？
20．小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了。求原来每个人各有几个球？
21．有一批旅游者需用轿车接送，轿车有甲、乙两种，用3辆甲种轿车，4辆乙种轿车（恰满载）需跑5趟；如果用5辆甲种轿车和3辆乙种轿车（恰满载）只需跑4趟，请问哪种轿车从的乘客多？
第七章 容斥原理
边长是4厘米与边长是5厘米的两个正方形，如右图放在桌面上（阴影部分是两正方形重叠部分），试求覆盖桌面的面积。解决这一问题，如只简单地把两个面积相加（4×4＋5×5＝41）显然是错误的，这是因为我们多计算了一块阴影部分的面积。这个面积是22÷2＝2（平方厘米），4 2 2 所以要将这块面积排除掉。
覆盖面积是：42＋52－22÷2＝39（平方厘米）。上例告诉我们，要求覆盖桌面的面积是
5 多大。可以先将这两个面积加起来，然后减去重叠部分。
同样，在数的计算中，也有类似的问题。如：六（1）班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中，至少要订一份。其中，订阅《少年报》的有25人，订《儿童世界》的有31人，订阅两种报刊的有4人，求六（1）班学生数。
要求六（1）班学生数，不能简单地用25＋31直接求得，这是因为重复包含的4人加了两次，所以，六（1）班人数应为25＋31－4＝52（人）。
以上两例告诉我们，这种有重复包含的问题，解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。这一原理，我们称为包含排除原理。即容斥原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答抽象的数学问题。
例1 求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。 答：50以内5的倍数和7的倍数的个数是16。
例2 在1到500这500个数中，不能被7和9整除的数共有多少个？ 答：在1～500这500个数中，有381个数不能被7和9整除。
例3 某班50个学生每人至少参加一个兴趣小组，其中有37人参加科技组，25人参加作文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几？
答：两组都参加的人数占全班人数的24%。
例4 50名同学参加兴趣小组，参加生物组的40人，参加数学组的28人，两个兴趣小组均参加的有几人？只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少？
答：只参加生物组跟只参加数学组人数的比是11∶5。
例5 一家电维修站，有80%的人精通彩电修理业务，有70%的人精通冰箱修理业务，10%的人两项业务都不熟悉，求两项业务都精通的人占总数的百分之几？
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答：两项业务都精通的占总人数的60%。
例6 如右图所示，三个正方形面积分别为25平方厘米，16平方厘米，9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲与乙公共部分为10平方厘米，乙与丙公共部分为6平方
甲 厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面积。
答：阴影部分的面积为5平方厘米。 例7 全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作乙 文，32人喜欢数学，21人喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的15人，既喜欢数学又喜
丙 欢自然的12人，既喜欢作文又喜欢自然的14人，三门都喜欢的有8人，求全班总人数？
答：全班总人数是50人。
例8 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有几人？
答：这个班三项都会的至少有20人。
例9 每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框把五个这样的方框放在桌面上，成为右图的图案。问桌面上被这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米？（首届华罗庚金杯赛初赛试题）172（平方厘米） 练习
1．六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？
2．1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？ 3．1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？
4．五（1）班有58人参加三项课外活动小组，其中32人参加文学组，24人参加美术组，30人参加音乐组，既参加文学组又参加美术组的有13人，既参加美术组又参加音乐组的有12人，既参加文学组又参加音乐组的有11人，三项活动小D B 组都参加的有几人？ 5．如图，△ABC是直
A C 角三角形，AC＝4厘米，BC＝
1AC，以2BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积。 6．两辆汽车从A、B
两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。已知出发5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？
7．100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50
人，懂得两种外语的有几人？
8．100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？
9．康大学校第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156人，比参加200米短跑的少40人，比参加50米短跑的多26人，同时参加100米和50米短跑的有74人，同时参加200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人数的2倍，同时参加50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参加50、100米和200米的共有多少人？
10．五（6）班有54人参加秋游活动其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢。
11．康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？ 12．分母是385的最简真分数共有多少个？
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解题思路点滴－－－－－－－－ 对应法
依据问题中数量之间的对应关系来解题的方法叫做对应法。在现实生活中，存在着大量的数量对应关系，如买15本书需150元，15本与150元是数量与总价的对应；3小时行120千米，3小时与120千米是时间与所行路程的对应；一条路的
33是600千米，与600千米是分率与具体数量的对应??对应关系是数量之间55最明显的关系，也是数量之间转换的钥匙，因此，对应思想是一种最基本的辩证思维。试分析下面各题中的对
应量。
1．文艺书是科技书的2倍，连环画是科技书的3倍。已知文艺书有500本，科技书、连环画各有多少本？ 250（本）??科技书的本数 750（本）??连环画的本数
2．甲打字员每小时打1960字，乙打字员每小时打2000字，一份书稿甲打字员打了5小时后，由乙打字员接着打，又过了4小时正好打完。这份书稿共有多少字？
例1 明明到超市买鱼，第一次用15元钱买回3千克鱼，第二次买同样的鱼多花了10元钱，第二次比第一次多买回鱼多少千克？（鱼的价格不变）2千克
例2 粮站运回面粉4500千克，大米15000千克。每袋面粉25千克，每袋大米75千克。运回的大米比面粉多多少袋？(20袋)
例3 小花家养的羊和鸡共36只，并知羊和鸡的脚的只数一样多，算一算，小花家养的羊和鸡各多少只？(24只)
例4 飞机3小时飞行2250千米，汽车8小时行320千米，飞机每小时飞行的速度比汽车快多少千米？(71千米)
例5 两列火车分别从甲、乙两站相对开出，甲火车每小时行49．8千米，乙火车每小时行48．5千米，如果相遇时甲火车比乙火车多行了2．6千米，求相遇时甲、乙两火车各行了多少千米？(97千米)
例6 汽车第一天行了3小时，第二天行了4小时，第三天行了5小时。第一、二天共行了280千米，第二、三天共行了360千米，汽车平均每小时行多少千米？(40千米)
例7 康大学校买来15个篮球和10个足球，共用545元。已知一个篮球和一个足球共42．5元，求每个篮球、足球各多少元？(18.5,24) 练习
1．一箱鸡蛋重40千克，一箱鸭蛋重42千克。一个收购站运进鸡蛋50箱，鸭蛋60箱，运进的鸭蛋比鸡蛋多多少千克？
2．两块地收了同样多的苹果，从第一块地里运走32000千克，还剩下97600千克，从第二块地里运走的苹果是第一块地里运走的3倍。第二块地里还剩苹果多少千克？
3．从甲村到乙村正好翻一座小山，甲村在山南，乙村在山北，南坡长200米，北坡长400米。一天张峰同志从甲村到乙村办事，他上坡时每分走40米，下坡时每分走50米。张峰同志在乙村办完事之后又原路返回甲村，张峰同志从甲村到乙村往返一次共用多少时间？
4．甲、乙二人同时从A地去相距90千米的B地，甲的速度是乙的3倍，甲比乙早到3小时。甲、乙两人的速度各是多少？
5．一个气象小组在一周内，每天早晨8点测得室外的温度分别是：18度、17度、18度、14度、16度、15度、`4度。求这一周早晨8点室外的平均温度是多少？
6．高级奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元，现将2千克高级奶糖、3千克普通奶糖和5千克水果糖混合在一起。问这种杂拌糖每千克多少元？
7．水果店运进一批水果，苹果的重量是梨的3倍，西瓜的重量是苹果的4倍。已知梨比苹果少240千克，三种水果各运进多少千克？
解题思路点滴－－－－－设数法
有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得
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简单明白。可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。
给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便。数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“1”未知，就给单位“1”设具体数值。
例1 判断下面各题。（对的打√，错的打×） （1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（ ） （2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）
例2 六年级同学中，男生人数比女生人数多答：女生人数比男生人数多
1，女生人数比男生人数少几分之几？ 31。 4151，那么需要多3例3 某人骑自行车从A地往B地。去时用了1小时，沿原路回家时，速度比原来加快少小时？
答：回家时需要
9小时。 10例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是 。
答：两校女生总数是两校学生总数的50%。
例5 如图，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分的面积。 答：阴影部分的面积为4．3平方厘米。
解题思路点滴－－－归纳与递推
归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法（如枚举法）和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。
例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。
12346，，，， ，； 234572533（2），1，，， ，；
3642（1）
（3）1，2，4，8， ，32； （4）1，10，19，28， ，46； （5）1，3，7，13， ，31； （6）1，3，8，15， ，35； （7）1，3，4，7， ，18。 【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。
（1）该数列的第n项形如
n5，而横线上的是第5项，故应填； n?16（2）按分母特点把各项还原成分数
246812，，，， ， 345682n10故第n项形如，横线上应填；
n?27（3）把各项分解质因数得
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