广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册
1，2，22，23， ，25；
－
故第n项形如2n1，横线上的数＝24＝16。
（4）易观察得：每项加上9便得后面一项，故横线上的数是29＋9＝37。 （5）设横线上的数是x，则将数列中各项与前项相减组成新数列得 2，4，6，x－13，31－x。 ∴x－13＝8，且31－x＝10； 故x＝21。
∴横线上应填21。
（6）容易看出数列的第n项形如n2－1，横线上是第5项，故应填24。 （7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。
【评注】分析数据之间的关系，归纳出数列通项，或相邻项之间的递推关系，是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有：差分法、 分数化法、分解质因数法、设未知数法等。
例2 数列1，3，2，－1，－2，1，?，的第n项an及其后面两项an＋1，an＋2之间满足关系式an＋2＝an＋1
－an。求这个数列的前2000项之和。（前2000项的和＝333×（1＋3＋2－1－3－2）＋1＋3＝4）
例3 求19991999的个位数字。（9）
例4 现有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第100个数被6除所得余数是几？（2）
例5 （1）平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分？（16） （2）平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分？（5051） 例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。 （99092）
例7 王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；第三次卖了第二次余下的一半又半个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。最扣还剩下一个西瓜，问王大爷原来一共有多少个西瓜？（31）
例8 如果xyz＝x3＋y3＋z3，则称三位数xyz为芙蓉花数，试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。 练习
1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数 （1）1，5，9，13，17，（ ） （2）0．625，1．25，2．5，5，（ ） （3）
2345( )，，，，?， 1016222858（4）198，297，396，495，（ ），（ ）。
2．从1到1001的所有自然数按图排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于 （1）1994，（2）2529，（3）1998。
问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 ?? ??
995 996 997 998 999 1000 1001
3．假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔子，此后每月生下一对小兔。如果养了初生的一对小兔，问满一年共可得多少对兔子？
4．（抢30）两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数。比如第1个人可以报1，第2 奥数中心教材 第２１页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册
个人可以报2或2，3；第1个人也可以报1、2，第2个人可以报3，或3、4。这样继续下去，谁报到30，谁就胜。请问，谁有必胜的策略？
5．54张扑克牌，两个人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张谁输，问先拿牌的人怎样才能保证获胜？
6．有三堆火柴，其根数分别为17，15，3。现有甲、乙两个轮流从其中的任意一堆取走火柴，每次至少取1根，也可以全堆取完但不允许跨堆取。判定取到最后火柴者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略？
7．有10个村庄，分别用A1，A2，?A10表示，某人从A1出发按箭
A5 头方向绕一圈最后经由A10到A1，有多少种不同走法？注：每点（村）至
多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方A4 向走。 A6 A7 A3 8．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两队。根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同城市的两个队之间不进行比赛。A2 A8 比赛若干场以后进行统计，发现除A市甲队外，其他各队比赛过的场数
A10 各不相同，问A市乙队赛过多少场？
A9 A1 题7 第一章 图形计数
计数就是数数，在四年级分册里已介绍了数线段，数长方形和正方形的方法，知道计数的关键是不遗漏、
不重复。要做到这一点，必须按照一定的规律，有次序、有条理地数。
图形的计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。图形的计数一般有两种思考方法：其一是公式计算法，其二是分类计数法。前面学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是 （n－1）＋（n＋2）＋?＋3＋2＋1
（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是 （1＋2＋3＋?＋n）×（1＋2＋?＋m）
（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是 222222n＋（n－1）＋（n－2）＋?＋3＋2＋1 上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
试一试
下面图形分别有多少个三角形、长方形和正方形。 本讲着重给同学们介绍另一种计数的思考方法――分类计数法。
这种计数法的关键是根据图形的某一特征，将要数的图形进行分类，然后分别计数。
例1 数一数图1中共有多少个三角形？（28个） A G 图1 F B E 奥数中心教材 第２２页 H N M C 图2
D 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册
例2 数一数下图中共有多少个三角形？（35个） D E T N B
A
C
5中有16个点，排成4×4的方阵，可以连成几个正方积是1平方单位的正方形有9个（3×3） 正方形有9个（3×3）
积是2平方单位的正方形有4个（见下图）
· · · · · · · · · ·
例3 数一数图3中共有多少个三角形？ （12个）
例4 图4中可以数出多少个三角形？（42个）
C F 图3
例5 图形？
（1）面
（2）面
F A B
图4
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
图中的正方形可以分割成四个等腰直角三角形，每两个三角形刚好拼成一个小正方形，因此它的面积是2平方单位。这样的正方形还可以画出3个。
3）面积是4平方单位的正方形有4个（见左下图）
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（4）面积是5平方单位的正方形有2个（见右上图，图中只画出一个，另一个请同学们画一画）。因为所画出的正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，每个直角三角形的面积是2×1÷2＝1平方单位，因此正方形的面积是9－1×4＝5平方单位。
（5）最后，面积是9平方单位的正方形只有1个，其余面积分别为3，6，7，8平方单位的正方形是连不出来的。
因此，因5中的16个点共可连成正方形 9＋4＋4＋2＋1＝20（个）。
分类计数法，最重要的是确定好分类标准。即按什么分类，对于不同的图形，应选择不同的分类标准。这就要求同学们认真审题，善于根据图形的特点和构成特征，灵活地选择好分类标准。
例6 四边形ABCD中有一点O（如图），从O点到四条边的垂线都是4厘米，已知这个四边形的周长是36厘米，问四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
A A D D O O C B C B 奥数中心教材 第２３页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册
答：四边形ABCD的面积为72平方厘米。 练习
1．数一数，下图中各有多少个三角形？ 题1
2．数一数，下图中有多少个三角形？
题2
3．下图中AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形的个数的差是多少？ 题3
4．下图的（1）和（2）中各有多少个三角形？
（1）
题4 （2） 5．将△ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下中有多少个平行四边形？
题5
第二章 三角形
第一节 三角形的内外角和
我们知道，三角形的三个内角的和等于180o，我们自然要问，四边形、五边形、更多边形的多边形，它们的内角和又是多少？
假如能把四边形划分成三有形的话，那么求四边形内角和的问题就转化为求三角形内角和的问题？怎样划分呢？
如图6－1，我们将四边形相对的顶点A和C连接起来，则AC把四边形ABCD划分为三角形ACD和三角形ABC。显然，四边形ABCD的四个内角和就等于这两个三角形内角和的和，也就是180o×2＝360o。
奥数中心教材 第２４页
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