例析高考关于数表问题的几种类型与变化趋势

例析高考关于数表问题的几种类型与变化趋势

江苏省盐城市龙冈中学 纪尧兵 （224011）

所谓数表就是指满足一定的生成规则并按一定的顺序排列成的一个表，数表问题常与数列知识联手，在高考中奏出一曲曲优美的“乐章”，逐渐成为高考命题的热门，本文试就数表问题考查的几种常见类型及变化趋势作一阐述，以馈读者。

一、三角形数表

例1（2008年江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数表：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．

n2?n【评析】：通过列举、分析、归纳、猜想，前n-1行共有1+2+3+?+ n-1个数，即共有

2n2?nn2?n?6个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个数，即

22例2（2008年山东卷19）

将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1

a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10

． ． ． ． ． ． ．

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足

2bnbnSn?Sn2＝1（n≥2）.

1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn（Ⅰ）证明数列｛

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比

4为同一个正数.当a81??时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

91?1,n?1?（Ⅰ）证明略，bn?? 2?,n?2?n(n?1)?（Ⅱ）析：本题关键在于确定a81在表中的位置，再由通项公式求出q,然后求和，设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.

因为1?2?????12?

12?13?78, 2 所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项， 故 a81表中第13行第三列，

42,所以 q=2. 因此 a81?b13?q2??, 又b13??9113?14 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

bk(1?qk)2(1?2k)2 则S???(1?2k)（k≥3）.

1?qk(k?1)1?2k(k?1)点拨：研究数表问题，首先要明确数表的构成元素,数表是由什么样的数列或哪些元素构成，即先要寻找数列的递推关系或元素的规律。

二、方形数表

例3（2004年北京春季高考题改编）下表给出一个“等差数表”：

4 7 7 12 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai5 ? ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ?? aij ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai1 ? ? ai2 ? ? ai3 ? ? ai4 ? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.

（1）写出a45的值； （2）写出aij的计算公式；

（3）写出2008这个数在等差数表中所在的一个位置。

【评析】：本题主要考查等差数列的基础知识，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力。

由每行和每列均成等差数列和表格中前两行两列的4个数，可求出第一行和第二行所有的数，再由第5列的前两个数求得第4个数，即a45。

解：（1）（略解）a45=49

（2）该等差数表的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j=7+5(j-1)，?

第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j

（3）要找2008在该等差数表中的位置，也就是要找正整数i,j使得2ij+i+j=2008，所以

2008?ij?，当i=1时，得j=669

2i?1所以，2008在等差数表中的一个位置是第1行第669列。 点拨：对于数表形等差、等比数列的综合问题，行、列关系较为复杂，在解题时一定要

多找等量关系，少设变量,尽可能把已知元素的值化归到同行或者同列。

三、回形数表

例4 （2008江苏高考零距离突破二轮复习题） 将自然数排成如下的螺旋状

第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数分别是 ，

【评析】：由图可知，前n个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，?，①这是一个数列题目，要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1，2，2，3，3，4，4，5，5，??②，把数列①的第一项添在数列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，??③，观察数列①，③发现原数列①的第n项an就等于数列③的前n项和,即a1?2，a2?2?1?3，

a3?2?1?2?2?7，?,故第20个拐弯处的数a20=2+1+2+2+?+10+10=1+2（1+2+?+10）=111

a25=2+1+2+2+?+12+12+13=170

解法2：设第i个拐弯处的数为ai，显然a1=2，a2i=a2i-1+I, a2i+1= a2i+(i+1)

∵20=2×10 25=2×12+1∴a20=1+2(1+2+?+10)=11 a25=1+2(1+2+?+12)+13=170

解法1到解法2由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。

点拨：解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途。

四、数表与排列组合的有机结合

例5、（2005年上海春季高考）用n个不同的实数a1,a2,?,an可得到n！个不同的排列，每个排列为一行，写成一个n！行的数表，对第i行ai1,ai2,?,ain，记

bi??ai1?2ai2?3ai3???(?1)nnain （i?1,2,?,n!）

123132213231312321例如1，2，3可得数表如图，由于此数表中每一列数之和均为12，所以

b1?b2???b6??12?2?12?3?12??24。那么在用1，2，3，4，5形成的数表中，b1?b2???b120?

【评析】：此题题目新颖有趣，思维要求较高，它给出计算数表中各数的某种组合的新思路，同时又具备高等数学的背景，渗透高等数学背景是高考命题的一大趋势，值得引起重视。

解：在用1，2，3，4，5所形成的数表中，起始数字为1的共有A44行，类似，起始数字为2，3，4，5的行都有A44个，于是数表中各数之和为(1+2+3+4+5) A44=360.

∴b1?b2???b120?(?1)?360?2?360?3?360?4?360?5?360 =(?1?2?3?4?5)?360=?1080

总之，适应新课程的需要，高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的问题，数表作为近年来数学命题的一个新亮点，为在今后高考中再次出现增添了无限的魅力空间。

参考文献：

1．王太东、张亚萍 《关联数列的数表问题》 2．李俊

数学教学 2005(9)

《2008年江苏高考数学（理）零距离突破系统复习集》