生活的色彩就是学习
第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
(对应学生用书第5页) [基础知识填充]
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断 p q p且q 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q. [知识拓展]
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真； (2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假； (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )
(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( ) K12的学习需要努力专业专心坚持
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(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p或q中，p，q有一真则真． (2)错误．p且q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
B [p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：存在n∈N，n＞2，则綈p为( )
A．任意n∈N，n＞2 C．任意n∈N，n≤2
22
2
nnB．存在n∈N，n≤2 D．存在n∈N，n＝2
2
2nnnC [因为“存在x∈M，p(x)”的否定是“任意x∈M，綈p(x)”，所以命题“存在n∈N，
n2>2n”的否定是“任意n∈N，n2≤2n”．故选C．]
4．(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是( )
A．任意x∈R,2
*
x－1
＞0
2
B．任意x∈N，(x－1)＞0 C．存在x∈R，lg x＜1 D．存在x∈R，tan x＝2
B [当x＝1时，(x－1)＝0，故B是假命题．]
5．若命题“任意x∈R，ax－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
??a＜0，当a≠0时，依题意知?2
?Δ＝a＋8a≤0，?
22
解得－8≤a＜0. 综上可知－8≤a≤0.]
(对应学生用书第5页)
含有逻辑联结词的命题的真假判断 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：K12的学习需要努力专业专心坚持
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若a∥b，b∥c，则a∥C．则下列命题中真命题是( ) A．p或q C．(綈p)且(綈q)
B．p且q D．p且(綈q)
A [取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题． 综上知p或q是真命题，p且q是假命题．
又∵綈p为真命题，綈q为假命题，
∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题．]
[规律方法] 1.“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成 形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p” 形式的命题的真假．
2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非
p则是“与p的真假相反”．
[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x＋y≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q C．q
B．p且q D．綈p
2
2
π5π2
B [取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)≥0恒成立，可知命题q正确．
36故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．] 全称命题、特称命题 角度1 含有一个量词的命题的否定 (2015·湖北高考)命题“存在x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是
( )
【导学号：00090009】
A．任意x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．任意x?(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．存在x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．存在x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [改变原命题中的三个地方即可得其否定，存在改为任意，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A．]
角度2 全称命题、特称命题的真假判断 K12的学习需要努力专业专心坚持
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(2018·青岛模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( ) A．存在x∈R，使得f(x)≤f(x1) B．存在x∈R，使得f(x)≥f(x1) C．对任意x∈R，都有f(x)≤f(x1) D．对任意x∈R，都有f(x)≥f(x1) C [由题意知2ax1＋b＝0，即x1＝－，
2a2
bb?24ac－b?又f(x)＝a?x＋?＋，故f(x)min＝f(x1)．
4a?2a?
因此，A，B，D正确，C错误．]
[规律方法] 1.否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题．
2
由命题的真假求参数的取值范围 12
(1)已知命题“存在x0∈R，使2x0＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范
2围是( ) A．(－∞，－1) C．(－3，＋∞)
2
B．(－1,3) D．(－3,1)
2
(2)已知p：存在x0∈R，mx0＋1≤0，q：任意x∈R，x＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为( ) A．m≥2
C．m≤－2或m≥2
B．m≤－2 D．－2≤m≤2
12
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意x∈R,2x＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命
2题，
12
则Δ＝(a－1)－4×2×＜0，
2则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，任意x∈R，mx＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m－4≥0，m≤－2或m≥2.
2
2
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??m≥0，
因此，由p，q均为假命题得?
?m≤－2或m≥2，?
即m≥2.]
[规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 2．全称命题可转化为恒成立问题．
?π?[变式训练2] (2018·泰安模拟)若“任意x∈?0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的
4??
最小值为________．
π
1 [∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，
4
?π?由“任意x∈?0，?，tan x≤m”是真命题，得m≥1.
4??
故实数m的最小值为1.]
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