第二章 基本初等函数() 检测试题 Word版含解析

ruize

所以a-3

)

21.(本小题满分15分)

已知定义域为R的函数f(x)=(1)求a,b的值;

是奇函数.

(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;

(3)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围. 解:(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数. 所以f(0)=0, 即

=0,

所以b=1.

又由f(-1)=-f(1),即所以a=2,

=-,

检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数. (2)f(x)在R上单调递减.证明:

由(1)知f(x)==-+,

任取x1,x2∈R,设x1

则f(x2)-f(x1)=-=,

ruize

因为函数y=2x在R上是增函数, 且x1

-+1)(

<0, +1)>0,

所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)

(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),

因为f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x, 即对一切x∈[,3]有k<设g(x)=

=()2-2·,

恒成立,

令t=,t∈[,2],

则有h(t)=t2-2t,t∈[,2], 所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,

所以k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1). 22.(本小题满分15分)

已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2log2(1-x). (1)求f(x)及g(x)的解析式及定义域;

(2)若偶函数F(x)=2g(x)+(k-2)x在区间(-1,1)上为单调函数,求实数k的范围;

ruize

(3)若关于x的方程f(2x)-m=0有解,求实数m的取值范围. 解:(1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). 因为f(x)+g(x)=2log2(1-x),① 所以用-x取代x代入上式得 f(-x)+g(-x)=2log2(1+x), 即-f(x)+g(x)=2log2(1+x),② 联立①②可得,

f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)=log2

(-1

g(x)=log2(1-x)+log2(1+x)=log2(1-x2)(-1

因为函数F(x)在区间(-1,1)上为单调函数, 所以

≤-1或

≥1,

所以所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞). (3)因为f(x)=log2所以f(2x)=log2设t=则t=

, =-1+

. ,

.

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因为f(x)的定义域为(-1,1),2x>0, 所以0<2x<1,1<1+2x<2,<0<-1+

<1,

<1,

即0

因为关于x的方程f(2x)-m=0有解,则m<0, 故m的取值范围为(-∞,0).