又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.????????????4分
??(2)设平面BMC'的一个法向量为n1=(x,y,z)
??????????1BM=(0,-1,), BC'＝(－1,0,1)
2???????1????y?z?0?n1?BM?0 即? ?2??????????x?z?0?n1?BC'?0???取z＝2,则x＝2,y＝1，从而n1=(2,1,2)
???取平面BC'B'的一个法向量为n2＝(0,1,0)
??????????n?n2??cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|19?1?13
由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos
1413??????????????????9分
24(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝?1?2?41
???设平面OBC的一个法向量为n3＝(x1,y1,z1)
?????????BD'＝(－1,－1,1), BC＝(－1,0,0)
???????????x1?y1?z1?0?n3?BD'?0 即 ??????????x1?0??n1?BC?0???取z1＝1,得y1＝1，从而n3＝(0,1,1)
1?????|BM?|2??2?点M到平面OBC的距离d＝?? 4|n3|21132424124VM－OBC＝S?OBC?d?3???????????????????12分
（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）
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如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=22，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD⊥平面ABF； （Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.
(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故?CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA?平面ABCD，所以FA?CD.故ED?CD.
在Rt△CDE中，CD=1，ED=22，CE=CD?ED=3,故
EDCE22cos?CED==
223.
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为223.
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则?BGA??CDA?45?.由?BAD?45?,可得BG?AB,从而CD?AB,又CD?FA,FA?AB=A,所以CD?平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=2，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GN?EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NM?EF，交BC于M，则?GNM为二面角B-EF-A的平面角。
连接GM，可得AD?平面GNM,故AD?GM.从而BC?GM.由已知，可得GM=NG//FA,FA?GM,得NG?GM.
在Rt△NGM中，tan?GNM?所以二面角B-EF-A的正切值为
（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC,CC1 上的点，CF?AB?2CE,AB:AD:AA1?1:2:4 （1） 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
14GMNG?1422.由
,
.
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（2） 证明AF?平面AED
（3） 求二面角A1?ED?F的正弦值。
【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A为坐标原点，设AB?1,依题意得D(0,2,0),
?3?F(1,2,1),A1(0,0,4),E?1,,0?
?2???????1?????（1） 解：易得EF??0,,1?,A1D?(0,2,?4)
?2???????????????????EF?A1D3于是cosEF,A1D????????????
5EFA1D 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为
35
?????????3??????1?（2） 证明：已知AF?(1,2,1),EA1???1,?,4?,ED???1,,0?
2?2???????????????????于是AF·EA1=0，AF·ED=0.因此，AF?EA1,AF?ED,又EA1?ED?E
所以AF?平面A1ED
?1?????y?z?0????u?EF?0?2(3)解：设平面EFD的法向量u?(x,y,z)，则??????,即?
1???x?y?0?u?ED?0??2??不妨令X=1,可得u?(1,2?1）。由（2）可知，AF为平面A1ED的一个法向量。
??????于是cosu,AF?2=uAF=，从而sin|u||AF|??3u,AF=53
所以二面角A1-ED-F的正弦值为53
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方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
12
CECBCFCC114链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由
==,可知EF∥BC1.故
?BMC是异面直线EF与A1D所成的角，易知
BM=CM=
12B1C=52,
2所
352以
c?BMCo?BM?CM?BCs2BM?CM3? ,所以异面直线FE
与A1D所成角的余弦值为
5（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为
CDBC?ECAB?12，
所以Rt?DCE?Rt?CBA，从而?CDE??BCA，又由于?CDE??CED?90?,所以
?BCA??CED?90?，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且CC1?AC?C，所以DE⊥平面ACF，
从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为DE?A1D?D，所以AF⊥平面A1ED
(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF?平面ACF, A1N?平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故?A1NF为二面角A1-ED-F的平面角
CNBC305EC?CN?E易知Rt?RtC，所以?AC，又AC?5所以CN?55，在
Rt?NCF中，NF?CF?CN22?在Rt?A1AN中NA1?22A1A?AN22?4305
连接A1C1,A1F 在Rt?A1C1F中，A1F?2A1C1?C1F22?2314
53在Rt?A1NF中，cos?A1NF?A1N?FN?A1F2A1N?FN?。所以sin?A1NF?
所以二面角A1-DE-F正弦值为
53
（2010广东理数）18.（本小题满分14分）
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