北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 (含答案)

sin?BAD?2

sin?CAD【答案】C 【解析】 【分析】

利用余弦定理计算出BD，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】如下图所示：

Q点D在BC边上，且BD?CD，?BD?22213BC?， 22由余弦定理得AD?AB?BD?2AB?BD?cos?3，整理得BD2?3BD?2?0，

QBD?S?ABDBD3??2， ，解得BD?2，∴CD?1，则SCD2?ACDBDADCDsin?BADBD????2. ?sin?CAD，所以，由正弦定理得sin?BADsinsin?CADCD3AB2?AD2?BD22757由余弦定理得cos?BAD?，同理可得cos?CAD?， ?2AB?AD714则

cos?BAD27144????2.

cos?CAD7575故选：C.

【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

9.声音的等级f?x?（单位：与声音强度x（单位：满足f?x??10?lgdB）W/m2）

x.

1?10?12喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）

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A. 106倍 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍

设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2，根据题意得出

f?x1??140，f?x2??60，计算出x1和x2的值，可计算出

x1的值. x2【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2， 由题意可得f?x1??10?lgx1?140，解得x1?102， ?121?10f?x2??10?lgx1x28?6?10x?10?60，解得，所以，， 2?12x1?102因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍， 故选：B.

【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.

10.若点N为点M在平面?上的正投影，则记N?f??M?.如图，在棱长为1的正方体

ABCD?A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为?，平面ABCD为?，点P是棱CC1上一动点

（与C、C1不重合）Q1?f???f??P???.给出下列三个结论： ?f??P???，Q2?f??

①线段PQ2长度的取值范围是?,?1?22???； 2?6

②存在点P使得PQ1//平面?； ③存在点P使得PQ1^PQ2.

其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】

以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，设点P的坐标为?0,1,a??0?a?1?，求出点Q1、Q2的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.

【详解】取C1D的中点Q2，过点P在平面AB1C1D内作PE?C1D，再过点E在平面

B. ②③

C. ①③

D. ①②

CC1D1D内作EQ1?CD，垂足为点Q1.

在正方体ABCD?A1B1C1D1中， PE?平面CC1D1D，∴PE?AD，AD?平面CC1D1D，又QPE?C1D，ADIC1D?D，?PE?平面AB1C1D，即PE??，?f??P??E， 同理可证EQ1??，CQ??，则f???f??P????f??E??Q1，f???f??P????f??C??Q2. 以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，设CP?a?0?a?1?，则P?0,1,a?，C?0,1,0?，E?0,??a?1a?1?,?，22??a?1??11?Q1?0,,0?，Q2?0,,?.

2???22?7

21111?1?对于命题①，PQ2???a??，Q0?a?1，则??a??，则

2224?2?221?1??12?1?1???a????,，命题①正确； 0??a???，所以，PQ2???4?2??22?2?4?uuuur?11?CQ?0,?,?， 对于命题②，QCQ2??，则平面?的一个法向量为2?22??uuuur?a?1uuuuruuuur1?aa1?3a1?PQ1??0,,?a?，令CQ2?PQ1????0，解得a???0,1?，

24243??所以，存在点P使得PQ1//平面?，命题②正确；

uuuur?uuuuruuuur1?aa?2a?1?11?2a?PQ?0,?,对于命题③，??0， 2??，令PQ1?PQ2?22??42整理得4a2?3a?1?0，该方程无解，所以，不存在点P使得PQ1^PQ2，命题③错误. 故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.在等差数列?an?中,若a2?5,a5?2,则a7? . 【答案】0 【解析】

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