若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说
是函数
的一个极大值；
＜均成立，
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说
是函数
的一个极小值.
＞均成立，
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使
的x点，称为函数
的驻点。
判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一： 设函数
在x0点的邻域可导，且
.
＞0，当x取x0右侧邻近值时，
＜0，
情况一：若当x取x0左侧邻近值时， 则函数
在x0点取极大值。
＜0，当x取x0右侧邻近值时，
＞0，
情况一：若当x取x0左侧邻近值时， 则函数
在x0点取极小值。
注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求
；
b)：求 c)：判断
的全部的解——驻点；
在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。
例题：求 解答：先求导数
再求出驻点：当
极值点
时，x=-2、1、-4/5
判定函数的极值，如下图所示
方法二：
设函数在x0点具有二阶导数，且
＜0，函数
＞0，函数
时
在x0点取极大值；
在x0点取极小值；
.
则：a)：当 b)：当 c)：当
=0，其情形不一定，可由方法一来判定.
例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。
解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。
，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； ＜0，故此点为极大值点；
＞0，故此点为极小值点。
函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求在[a,b]
上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点大值、最小值即为所求。
的值，从中取得最
例题：求函数 解答：
在此区间处处可导，
，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。
先来求函数的极值，故x=±1，
再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。
因为
故函数的最大值为
，，
，函数的最小值为
， 。
例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
解答：由题意可知：为一常数，
面积
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
故：时，用料最省。
曲线的凹向与拐点
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：
对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲
线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
定理一：设函数
导数 定理二：设函数
在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：
在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
＞0，则＜0，则
在[a,b]对应的曲线是下凹的； 在[a,b]对应的曲线是上凹的；
若在(a,b)内， 若在(a,b)内，
例题：判断函数的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
因为，所以在函数的定义域(0,+∞)内，＜0，
故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法
如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点。
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