四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例4．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
y y E B B C C F
E F F D D
O P A x O P A x 图① 图②
变式．（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式． （2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
y y
P C
E A B A B x x
O D
图2
苏州中考题：（2013年●29题）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与
x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．
(1)b＝ ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；
(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个．
五、与四边形有关的二次函数问题
例5．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，3），C（1，0），2∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，
3），以点D为顶点、y轴为对称轴3的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
B′
D
C
变式练习：（2011年苏州28题）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当PA的长度等于 时，∠PAB＝60°；
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