西城区高三模拟测试
数学（理科） 2018.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出
符合题目要求的一项．
1．若集合A?{x|0?x?1}，B?{x|x2?2x?0}，则下列结论中正确的是 （A）AB?? （C）A?B
2．若复数z满足(1?i)?z?1，则z? （A）
（B）AB?R （D）B?A
1i? 221i（B）??
221i（C）??
221i（D）?
223．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A）y?1 x（B）y?x2 （C）y?2|x| （D）y?cosx
4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 （A）12 （B）410 （C）122 （D）85 5．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若向量?a?b与c
共线，则实数?? （A）?2
（B）?1
（C）1
（D）2
x2y26．已知点A(0,0)，B(2,0)．若椭圆W: ??1上存在点C，使得△ABC为等边三角形，
2m则椭圆W的离心率是
1（A）
2（B）2 2（C）6 3（D）3 2
7．函数f(x)?1?x2?a．则“a≥0”是“?x0?[?1,1]，使f(x0)≥0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
8．在直角坐标系xOy中，对于点(x,y)，定义变换?：将点(x,y) ?x?tana,ππ变换为点(a,b)，使得?其中a,b?(?,)．这样变
22?y?tanb, 换?就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线． 则四个函数y1?2x(x?0)，y2?x2(x?0)，y3?ex(x?0)， y4?lnx(x?1)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内 的四条曲线（如图）依次是 （A）②，③，①，④ （C）②，③，④，①
（B）③，②，④，① （D）③，②，①，④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
?x?2?cos?,9．已知圆C的参数方程为?（?为参数），则圆C的面积为____；圆心C到直线
?y?sin?l:3x?4y?0的距离为____．
110．(x2?)4的展开式中x2的系数是____．
x
11．在△ABC中，a?3，b?2，?A?
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?1，S2?S3，则数列{an}的通项公式可以是____．
π，则cos2B?____． 3
?x≥1,?13．设不等式组 ?x?y≥3, 表示的平面区域为D．若直线ax?y?0上存在区域D上的点，
?2x?y≤5?则
实数a的取值范围是____．
14．地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安
全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 疏散乘客时间（s） A，B 120 B，C 220 C，D 160 D，E 140 A，E 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?(1?tanx)?sin2x． （Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若??(0,π)，且f(?)?2，求?的值．
16．（本小题满分14分）
如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF，AB?AD．CD?DA?AF?FE?2，AB?4．
（Ⅰ）求证：DF//平面BCE； （Ⅱ）求二面角C?BF?A的余弦值；
（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG?平面BCF？
请说明理由．
17．（本小题满分13分）
在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到
如下统计图：
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III）某研究机构提出，可以选取常数X0?n?0.5(n?N*)，若一名从业者该项身体指标检
测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的X0的值及相应的概率（只需写出结论）．
18．（本小题满分14分）
已知直线l:y?kx?1与抛物线C:y2?4x相切于点P． （Ⅰ）求直线l的方程及点P的坐标；
（Ⅱ）设Q在抛物线C上，A为PQ的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于
M，N．记△PMN的面积为S1，△QAM的面积为S2，证明：S1?S2．
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