2018北京西城区高三二模理科数学试题及答案

19．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx?ax，曲线y?f(x)在x?1处的切线经过点(2,?1)． x（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设b?1，求f(x)在区间[1

b,b]上的最大值和最小值．

20．（本小题满分13分）

数列An：a1,a2,,an(n≥2)的各项均为整数，满足：a?1?2n?2?a?31?2n?a23?2n??an?1?2?an?0，其中a1?0．

（Ⅰ）若n?3，写出所有满足条件的数列A3； （Ⅱ）求a1的值； （Ⅲ）证明：a1?a2??an?0．

ai≥?1(i?1,2,n,，)且

西城区高三模拟测试

数学（理科）参考答案及评分标准

2018.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

619．π， 10．6 11．

53 112．?n?2（答案不唯一） 13．[,3] 14．D

2注：第9题第一空3分，第二空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

π解：（Ⅰ）因为函数y?tanx的定义域是{x?R|x?kπ?,k?Z}，

2π所以f(x)的定义域为{x?R|x?kπ?,k?Z}． ………………

24分

（Ⅱ）f(x)?(1?tanx)?sin2x

?(1?5分

?sin2x?2sin2x ………………

sinx……………… )?sin2xcosx

6分

?sin2x?cos2x?1 ………………

7分

π?2sin(2x?)?1． ………………

4

8分

由f(?)?2，得sni(2分

因为 0???π，所以??2??10分

所以 2??11分

解得 ??13分

16．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为 CD//EF，且CD?EF， 所以 四边形CDFE为平行四边形，

所以 DF//CE． …… 2分

因为 DF?平面BCE，…… 3分

所以 DF//平面BCE．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF内，过A作Az?AB．

因为 平面ABCD?平面ABEF，平面ABCDI平面ABEF?AB， 又 Az?平面ABEF，Az?AB， 所以 Az?平面ABCD，

所以 AD?AB，AD?Az，Az?AB．

如图建立空间直角坐标系A?xyz． ………………

5分

由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3,3)，F(0,1,3)． 所以 BC?(2,?2,0)，BF?(0,?3,3)． 设平面BCF的法向量为n?(x,y,z)，

?????n?BC?0,则 ???n????BF?0,?)?π2． ……………… 9?42π4π7π?， ………………44πππ3π?，或2???． ………………4444ππ，或??（舍去）． ………………42??????

??2x?2y?0,即 ?

?3y?3z?0.??令y?1，则x?1，z?3，所以 n?(1,1,3)． ………………

7分

平面ABF的一个法向量为 v?(1,0,0)， ………………

8分

则 cos?n,v??n?v5?． |n||v|55． ………………5所以 二面角C?BF?A的余弦值10分

（Ⅲ）线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF，理由如下： ………………11分

解法一：设平面ACE的法向量为m?(x1,y1,z1)，

?????m?AC?0,则 ???m???AE?0,?

??2x1?2y1?0,即 ?

3y?3z?0.??11令y1?1，则x1??1，z1??3，所以 m?(?1,1,?3)． ………………

13分

因为 m?n?0，

所以 平面ACE与平面BCF不可能垂直，

从而线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF． ………………

14分

解法二：线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF，理由如下： …………

11分

假设线段CE上存在点G，使得AG?平面BCF， 设 CG??CE，其中??[0,1]．

设 G(x2,y2,z2)，则有(x2?2,y2?2,z2)?(?2?,?,3?)， 所以 x2?2?2?，y2?2??，z2?3?，从而 G(2?2?,2??,?????????3?)，

所以 AG?(2?2?,2??,3?)． ………………

13分