寒假讲义

第一讲：相遇问题 知识要点：

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题。行程问题的最基本关系式为：路程=速度X时间

相遇问题，是指两个人或物在不同的起点（或者相同的起点（如在环形跑道上）做相向（或反向运动）的问题。 相遇问题中常用的公式有： 路程和 = 速度和 X 相遇时间 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间

一． 基础应用

例1： 一辆客车与一辆货车同时从甲，乙两个城市相对开出，客车每小时行40千米，

货车每小时行42千米，3小时两车相遇，甲，乙两个城市的路程是多少？

路程和=速度和X 相遇时间=（40+42）X3=246

例2：两列货车从相距500千米的两成相向而行，甲列车每小时行50千米，乙列车每

小时行45千米，4小时后，甲、乙两车还相距多少千米？

路程和=总路程-速度和X 相遇时间=500-（50+45）X4=120

例3：甲、乙两车同时从相距600千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，途中

因汽车故障甲车停了2小时，5小时后两车相遇，乙车每小时行多少千米？

甲行驶的路程 =（5-2）×60＝3×60＝180 乙行驶的路程 = 600-180=420 乙的速度 = 路程和 ÷ 相遇时间 = 420 ÷ 5 = 84

例4：甲乙两车分别从相距600千米的两地相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每

小时行48千米，问：（1）几小时后两车相遇？（2）几小时候两车第一次相距200千米？（3）几小时后两车相遇后又相距200千米？

相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和=600 ÷ （52+48）= 6 相遇时间 = （600-200） ÷ （52+48）= 4 相遇时间 = （600+200）÷ （52+48） = 8

二．拓展训练

例5：两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出， 甲车每小时行45千米， 乙车每小时行40千米。 甲，乙两车相遇时，各行了多少千米？ 相遇时间=路程和 ÷ 速度和=255÷（40+45）= 3 甲行驶的路程= 3×45 = 135 乙行驶的路程= 3×40 = 120

例6：甲，乙两车分别从相距480千米的A，B两城同时出发，相向而行， 已知甲车到达B城需要6小时，乙车到达A城需要12小时， 问： 两车出发后多长时间相遇？ 甲行驶的速度=480÷6=80 乙行驶的速度=480÷12=40 相遇时间=路程和 ÷ 速度和=480÷（80+40）=4

例7：甲，乙两列火车从相距880千米的两地相向而行， 甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发，甲车行几小时后于乙车相遇？ 乙先行驶的路程=40×2＝80 相遇时间=路程和÷ 速度和=（880-80）÷（60+40）=8

例8：大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学， 大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？ 速度和=路程和÷ 相遇时间=3000÷50= 60 大头儿子的速度=（60-24）÷ 2 = 18

例9：甲车和乙车分别从A，B两地同时出发，相向行了5小时后相遇，甲车每小时行30千米，乙车行完全程需要8小时， A,B两地相距多少千米？ 甲行驶的路程 = 5×30 = 150 乙行驶的速度 = 150÷3 = 50

路程和 = 相遇时间×速度和 = 5×（50+30）= 400

例10：甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3小时，甲车到达B地，求A，B两地的距离？ 甲行驶的路程=40×3=120 乙行驶的速度=120÷60=2 路程和=（60+40）×2=300

三．难题解析：

例11：甲乙两辆汽车从AB两地相向开出，出发后2小时，两车相距141千米，出发后5小时，两车相遇，AB两地相距多少千米？ 速度和 = 141÷（5-2）＝47

路程和 = 速度和×相遇时间 = 47 × 5 = 235

例12：夏夏和东东同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，东东每分钟行60米，两人在距两地终点50米处相遇，求两地的距离多少米？ 冬冬比夏夏多行=50×2＝100米 每分钟冬冬比夏夏多行=60-50=10米 相遇时各自行走=100/10=10分钟 两地距离=10×（60+50）＝1100米

四：巩固练习：

1：小聪和小明同时从各自的家相对出发，小明每分钟走15米，小聪骑着脚踏车每分钟比小明快50米，经过20分钟后两人相遇。问小聪家和小明家的距离是多少？ 路程和=速度和×相遇时间=（15+50）× 20 = 1300

2.两辆汽车从甲，乙两地同时出发相向而行，一辆每小时行75千米，另一辆每小时行70千米，4小时候两车仍相距40千米。甲乙两地相距多少千米？ 路程和=速度和×相遇时间=（75+70）×4+40= 620

3.一架飞机以每小时400千米的速度从A城出发，飞向B城。一小时后，另一架飞机以每小时450千米的速度从B城开往A诚，经过3小时遇到从A城飞来的飞机。A,B两城相距多少千米？

路程和=速度和×相遇时间=400+（400+450）×3= 2950

4.A，B两地相距90米，小红从A地到B地需要30秒，小丽从B地到A地需要15秒。现在小红和小丽从A，B两地同时相对而行，相遇时小红与B地的距离是多少？ 小红的速度=90÷30=3 小丽的速度=90÷15=6 相遇时间=路程和÷速度和=90÷(3+6)=10 小红距离B地=90-3×10=60

5.甲，乙两城之间的铁路长是1100千米，某日上午5点30分从甲城开出一列慢车，从乙诚开出一列快车，当日下午4点30分相遇，快车每小时行58千米，慢车每小时行多少千米？

相遇时间=16.30-5.30=11 速度和=路程长÷相遇时间=1100÷11=100 慢车速度=100-58=42

6.小叶和小萍两人从相距3000米的两地同时出发， 相向而行， 30分钟后相遇。如果两人每分钟都少走20，那么他们出发后多少分钟相遇？ 速度和=路程和÷相遇时间=3000÷30=100 相遇时间=3000÷（100-20×2）=50

7.南北两城之间的路程是400公里， 上午8点客车一平均每小时50公里的速度从南城开往北城， 货车一平均每小时40公里的速度从北城开往南城， 要是两车在全程中点相遇， 货车必须在上午几点出发？ 客车相遇时间= 400÷2÷50=4 货车相遇时间= 400÷2÷40=5 货车出发时间=8-(5-4)=7

8.四年级4个班举行跳绳比赛，小红预测比赛结果是：3班第一名， 2班第二名，1班第三名，4班第四名。小芳预测的名次排列是：2班第一名， 4班第二名， 3班第三名， 1班第四名。 比赛结果只有小芳预测的4班第二名是正确的。 这次跳绳比赛的名次从高到低依次是哪些班级？

1班 2班 3班 4班级

小红 3 2 1 4 小芳 4 1 3 2 顺序 1 3 4 2

第二讲：追及问题 知识要点：

追及问题，也就是同向运动问题，追及问题的地点可以相同（如在环形跑道上），也可以不同，但方向一般是相同的，由于速度不同，就发生快者追及慢者的问题。速度不同必然存在速度差，在相同的时间内就会产生路程差。所以，路程差，速度差和追及时间及追及问题中的三个基本要素。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用的公式有： 路程差=速度差×追及时间； 追及时间=路程差÷速度差； 速度差=路程差÷追及时间。

一、 基础应用：

（1） 甲、乙二人开车都要从北京去天津，甲开车行驶30千米后乙才开始出发，甲开

车每小时行驶45千米，乙开车每小时行驶55千米，问：乙开车经过多长时间能追上甲？

追及时间 = 路程差÷速度差 = 30÷（55-45）=3

（2） 小江和小杰从学校到电影院看电影，小江以每分钟50米的速度向电影院走去，

4分钟后小杰以每分钟70米的速度向电影院走去。在未到电影院的途中，小杰便追上了小江。问小杰在出发后多少分钟追上了小江？追上小江时，小杰已走了多远？ 路程差=50×4=200 追及时间 = 路程差÷速度差=200÷(70-50)=10 小杰路程=10×70=700

（3） 一辆汽车追赶比它先出发的一辆摩托车，已知这辆汽车每小时行驶40千米，摩

托车每小时行驶30千米，汽车出发后3小时追上了摩托车。问摩托车比汽车早出发了多长时间？

路程差=（40-30）×3=10×3=30 时间=30÷30=1（小时）

（4） 兔子和乌龟这对冤家又碰到一起，曾经输的一塌糊涂的兔子骄傲的对乌龟说：

“今天我让你先跑30分钟，你每分钟也就跑10米，我2分钟保证追上你，现在开始！”兔子发出口令，如果兔子这次不睡觉它每分钟至少要跑多少米才能实现它说的话？

速度差=（30×10）÷2=150 150+10＝160

（5） 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千

米，乙机每小时350千米。飞行5小时候它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用5小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 路程差=（350-300）×5=250 速度差=250÷5=50

甲机速度=350+50=400