Page 9 of 123 高中高三第一轮复习练习试题
(1)写出g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
20001000
解：(1)g(x)＝(0 3x216－x ? (2)f(x)＝?1000 ?216－x (87≤x<216，x∈N). * 2000 (0 (3)分别为86、130或87、129. 第二节 函数的单调性 A组 1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 1 ①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1) x解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0 1 解析：∵0 2 1 由0≤logax≤a≤x≤1.答案：[a，1](或(a，1)) 2 3．函数y＝x－4＋15－3x 的值域是________． ππ 解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，]，y＝sinα＋3cosα＝2sin(α＋)，∴1≤y≤2. 23 答案：[1,2] a 4．已知函数f(x)＝|ex＋x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__． e aa 解析：当a<0，且ex＋x≥0时，只需满足e0＋0≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝|ex|＝ex符 eeaa 合题意；当a>0时，f(x)＝ex＋x，则满足f′(x)＝ex－x≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立 ee即可，故a≤1，综上－1≤a≤1. 答案：－1≤a≤1 5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． 1 (x>0)?? ①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝?0 (x＝0) ??－1 (x<－1) 解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域 为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数； 9 1 (x>0)1 (x>0)???? ∵f(x)＝?0 (x＝0)的下确界为－1.∴f(x)＝?0 (x＝0)是有下确界的函数．答案：①③④ ???－1 (x<－1)?－1 (x<－1)6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在x∈R使f(x) (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围. 解：(1)x∈R，f(x) 2525 ①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需 55 ? ?25 25 －≤m≤?55 m≤02 25－≤m≤0. 5 2525m ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1 552m??2≥1 ?m≥2. 2??F(0)＝1－m≤0m 若≤0，则x2≤0， 2 m??2≤025?－1≤m<－.综上所述：－1≤m≤0或m≥2. 52??F(0)＝1－m≥0 B组 1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． 1 ①y＝－ ②y＝－(x－1) ③y＝x2－2 ④y＝－|x| x 解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0. a??2≤2，∴?∴－4 a3 3．若函数f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__． x4 a39 解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(a，＋∞)上为增函数，∴a≤，0 答案：(0，] 16 f(x2)－f(x1) 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0， x2－x1 Page 11 of 123 高中高三第一轮复习练习试题 则下列结论正确的是________． ①f(3) f(x2)－f(x1) 解析：由已知<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3) x2－x12) x??a (x<0)，f(x1)－f(x2) 5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝?满足对任意x1≠x2，都有<0成 x1－x2??(a－3)x＋4a (x≥0) 立，则a的取值范围是________． 0 解析：由题意知，f(x)为减函数，所以?a－3<0， ??a0≥(a－3)×0＋4a，6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图 的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝的最大值为________． ??2x(x－1) (0≤x<1)， 解析：g(x)＝? ?(－x＋3)(x－1) (1≤x≤3)，? 1 解得0 4 所示的折线段OAB，点Af(x)·(x－1)，则函数g(x) 当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时， 在x＝2取得最大值1.答案：1 7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(cosx)的值域是________． 解析：∵cosx∈[－1,1]，函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y＝f(cosx)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________． 解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为 ?1≤x≤9，??∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]， 2?1≤x≤9，? ∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：13 1 9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________． 2 1 解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0 2 1111 μ＝2(x＋)2－，则减区间为(－∞，－)．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－.∴f(x)的单调递增区间 484211 为(－∞，－)．答案：(－∞，－) 22 11 10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性． 22 1 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)] 211 是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－)2 22 11 11111121＋在u∈(－∞，)上是减函数，在u∈(，＋∞)上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得222222220 2 .由此，从下表讨论复合函数y＝f[g(x)]的单调性： 2 单调性 函数 1u＝logx 2f(u)＝2u2－2u＋1 11y＝2(logx)2－2logx＋1 22(0， 2) 2(2，＋∞) 2 1122 故函数y＝2(logx)2－2logx＋1在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． 2222 x111．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. x2 (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. x1(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0， x2x1 所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) x2 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． x19(3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. x23由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f(|x|) x2＋ax＋b 12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在 x(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由． 1＋a＋b 解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3＝1.即a＋b 1＝2. x12＋ax1＋bx22＋ax2＋b 设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立． x1x2(x1－x2)(x1x2－b) 由此得＞0恒成立． x1x2 又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1. (x3－x4)(x3x4－b) 设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立． x3x4 ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件． 第三节 函数的性质 A组
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