高三数学一轮复习教案全套练习及详细解析1

Page 13 of 123 高中高三第一轮复习练习试题

1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．

解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2) 2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．

解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)?f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0

3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．

解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)

答案：f(－25)

1

4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)

3围是________．

1112

解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)

3333

12

答案：(，)

335．(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．

解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－2

6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．

解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.

(2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．

(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当6

??－3x＋15， 4≤x≤6

∴f(x)＝?. 2

?2(x－7)－5， 6

B组

1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．

①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x＋2) ④f(x＋3)是奇函数

解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，

13

f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④

3

2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋?＋f(2009)

2＋f(2010)＝________.

3

解析：f(x)＝－f(x＋)?f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，

2f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋?＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：0

3．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2010)＝________.

解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：0

4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．

解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：1

16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－，若当f(x)2

解析：由f(x＋2)＝－，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函

f(x)55

数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝.答案： 227．(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1

x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________．

解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)

8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.

解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1

9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-8

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10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)．

??－xlg(2－x) (x<0)，

∴f(x)＝?即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．

?－xlg(2＋x) (x≥0).?

11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R，f(x)<0，1

并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

2解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

＋

(2)法一：设x，y∈R，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．

＋

∵x∈R，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)

1

为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－

22)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

法二：设x10，∴f(x2

1

－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)

2＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．

(1)求证：f(x)是周期函数；

11

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2010]上的所有x的个数．

22解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数．

1

(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，

2

111

设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－222

11

x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)

22

1

又设1

2

11

又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－

22

1

x (－1≤x≤1)2

2)(1

1

－(x－2) (1

11

由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n

22

＋

???

15

131

－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)＝－.

442

第三章 指数函数和对数函数

第一节 指数函数

A组

－－

1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且a＋ab＝22，则ab－ab的值等于________．

－－－－－

解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋ab)2＝a2b＋a2b＋2＝8，∴a2b＋a2b＝6，∴(ab－ab)2

－－

＝a2b＋a2b－2＝4，∴ab－ab＝－2.答案：－2

2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.

解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3.

答案：33－3

1－2

3．函数y＝()2xx的值域是________．

2

b

解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 1－211

∴()2xx≥.答案：[，＋∞) 222

4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)

5．(原创题)若函数f(x)＝a－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

?01

x

?2?0a－1＝0解析：由题意知?无解或?a－1＝0?a＝3.答案：3 ???a0－1＝2?a2－1＝2

－2x＋b

6．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．(1)求a，b的值；

2＋a(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

－1＋b

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.

2＋a

1－＋1x

2－2＋1－2＋1

从而有f(x)＝x＋1.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

2＋a4＋a1＋a

－2x＋111

(2)法一：由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x，

22＋12＋2

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0?f(t2－2t)<－f(2t2

－k)＝f(－2t2＋k)．

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

1

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3