Page 29 of 123 高中高三第一轮复习练习试题
解析：运输效率是运输总量Q与时间t的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确．
答案：②
3．如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是__________．
2a4aaaa
三点共线，所以＝，故解析：设C(a,4)，所以A(a,2)，B(2a,4)，又O，A，Ba2a4a＝2×2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A
4．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．
的坐标是(1,2)．答案：(1,2)
上的奇函数，当x>0时，
解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：②
5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q1(吨)，加油机加油箱内余油Q2(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.
解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为__________．
解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数y＝f(x)为周期为2的周期函数，作图． 答案：6
m
7．函数y＝xn(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，__________．
29
则下列结论正确的是
①mn>0，m，n均为奇数 ②mn<0，m，n一奇一偶 ③mn<0，m，n均为奇数 ④mn>0，m，n一奇一偶
m
解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证<0，即
n
m
|m|
mn<0，有y＝xn＝x－|n|；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质，则m定为奇数．答案：②
8．(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是
①y＝x2＋1 ②y＝|x|＋1
??2x＋1，x≥0③y＝?3
?x＋1，x<0?
?ex，x≥0?④y＝?－x
??e，x<0
解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．答
案：③ 9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，且图象C′关于点(2，－3)对称，则a的值为__________．
解析：∵C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，
1－a
∴C′为x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝. x－a∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2 10．作下列函数的图象：
1－|x|1
(1)y＝；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|.
|x|－1|1－x|
11解：(1)定义域{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝.先作函数y＝的
xx－1
1
图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．
x－1
1
又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝的图象(如图(b)所示)．
|x|－1
?(x－2)－4 (x≥2)，
(2)函数式可化为y＝?19
－(x－)＋ (x<2).?24
22
19
其图象如图①所示．
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1＋x??1－x (x<0)，
(3)函数式化为y＝?1 (0≤x<1)，
??－1 (x>1).
其图象如图②所示．
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的
图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
(5)先作出y＝2的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的
－
图象，即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x1|的图象，如图④所示．
a11
11．已知函数f(x)＝－x(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；(2)求f(－2)
22a＋a
x
＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
11
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－
22
aaaxaa
1－y)．由已知，y＝－x，则－1－y＝－1＋x＝－x.,f(1－x)＝－1－x＝－＝－
aa＋aa＋aa＋aa＋a
＋aaxa·axax
＝－x.
a＋a·axa＋a
11
∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．
22
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
x＋b1131
12．设函数f(x)＝(x∈R，且a≠0，x≠)．(1)若a＝，b＝－，指出f(x)与g(x)＝的图象变换关系
a22xax－1以及函数f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图象必关于直线y＝x对称．
3x－
22x－3131
解：(1)a＝，b＝－，f(x)＝＝＝2＋，
221x－2x－2
x－12
∴f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)．
x0＋b
(2)证明：设P(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝，P(x0，y0)关于y＝x的对称点为P′(y0，x0)．由
ax0－1
x0＋by0＋by0＝得x0＝.∴P′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x)的图象关于直线y＝x对称.
ax0－1ay0－1
第四章 函数应用
31
A组
??x(x＋4)，x<0，
1．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点个数为________．
?x(x－4)，x≥0.?
解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：3
2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___．
x ex x＋2 －1 0.37 0 1 1 2.72 2 7.39 3 20.09 1 2 3 4 5 解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．
答案：(1,2)
3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________．
解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.答案：2
4．(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)． 低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)． 故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案：148.4
5．(原创题)已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a>1时，g(x)有2个零点；∴a的最小值为1.答案：1
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