【最新】《空间向量与立体几何》专题解析(1)
一、选择题
1．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A．0个 【答案】B 【解析】 【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数. 【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B. 【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
B．1个
C．2个
D．3个
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E?平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若
D1E?CF，则当VEBC的面积取得最小值时，
A．25 5S△EBC?（ ） SABCD5 5B．
1 2C．D．5 10【答案】D 【解析】 【分析】
根据D1E?CF分析出点E在直线B1G上，当VEBC的面积取得最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，即可求得面积关系． 【详解】
先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，
即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB. 证明：直线l在平面内的射影为直线OA，
不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线， 所以OB⊥平面PAO，PO?平面PAO， 所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理. 如图所示，取AB的中点G，
正方体中：A1C1?D1B1，CF在平面A1B1C1D1内的射影为A1C1， 由三垂线定理可得：CF?D1B1，
CF在平面A1B1BA内的射影为FB，FB?B1G
由三垂线定理可得：CF?B1G，B1G与D1B1是平面B1D1G内两条相交直线， 所以CF?平面B1D1G，
∴当点E在直线B1G上时，D1E?CF，
11?EB?BC??EB?a， 22当VEBC的面积取最小值时，
设BC?a，则S△EBC?线段EB的长度为点B到直线B1G的距离， ∴线段EB长度的最小值为a， 5?S△EBCSABCD1a??a5. 25??a210故选：D. 【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
?3．三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，?BAA1??CAA1?60，则异
面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．3 3B．6 6C．3 4D．
3 6【答案】B 【解析】 【分析】
uuuvuuuuuuvvuuuuvvvuuuvv设AA，AB?a，AC?b，根据向量线性运算法则可表示出AB1和BC1；分别求解1?cuvuuuvuuuuvuuuvuuuuuuvuuuuv出AB1?BC1和AB1，BC1，根据向量夹角的求解方法求得cos?AB1,BC1?，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
uuuvvuuuvvuuuvv设棱长为1，AA，，?cAB?aAC?b 1vv1vv1vv1由题意得：a?b?，b?c?，a?c?
222uuuvvvuuuuvuuuvuuuvvvvQAB1?a?c，BC1?BC?BB1?b?a?c
uuuvuuuuvvvvvvvvv2vvvvvvv211?AB1?BC1??a?c??b?a?c?a?b?a?a?c?b?c?a?c?c??1??1?1
22uuuvvv2vvvv又AB1??a?c??a2?2a?c?c2?3
??v2v2v2vvvvvv?b?a?c?2a?b?2b?c?2a?c?2 uuuvuuuuvuuuvuuuuvAB1?BC116?cos?AB1,BC1??uuuv?uuuuv?
66AB1?BC1uuuuvBC1??vvvb?a?c?2即异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为：本题正确选项：B 【点睛】
6 6本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
4．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB?平面BCD，VBCD是边长为3的等边三角形，若AB?2，则球O的表面积为( )
A．16? 【答案】A 【解析】 【分析】
B．
32? 3C．12? D．32?
先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积S??D2求解即可. 【详解】
VBCD外接圆直径
d?CD3??23 , sin?CBD32故球的直径平方D2?AB2?d2?22?(23)2?16,故外接球表面积S??D2?16? 故选：A 【点睛】
本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d,再利用锥体高h,根据球直径D?d2?h2求解即可.属于中等题型.
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
B．必要不充分条件
5．已知平面??平面?，?I??l，a??，b??，则“a?l”是“a?b”的（ ）
D．既不充分也不必要条件
rr根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面??平面?，????l,a??,b??， 当a?l时，利用面面垂直的性质定理，可得a?b成立， 反之当a?b时，此时a与l不一定是垂直的，
rrrrrr所以a?l是a?b的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
6．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1 中，E,F 分别为B1C,C1D1 的中点，点P 是底面
A1B1C1D1内一点，且AP// 平面EFDB ，则tan?APA1 的最大值是( )
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