浙江省浙大附中2012届高三3月模拟考试数学试题

22．(本题满分15分)设函数f(x)?ax?lnx(a?0)．

（Ⅰ）当a?2时，判断函数g(x)?f(x)?4(x?1)的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有x?1，都有f(x)?x?1，求正数a的取值范围．

高三数学（理）答案 一、选择题： 1 2 3 C B A 二、填空题：

24 A 5 C 6 B 7 D 8 D 9 C 10 A

833?11. 15 12.4 13. 3 14. 3

15．35，10 16. 4025 17. [3?210,3?42) 三、解答题：

4?333????12??????sin(??)?332313??5?123?cos??cos(???)?3326(2)sin(A?B)?sin(A?B)?3sin2B18.(1)cos(??)?13,3??????sinAcosB?3sinBcosB?cosB?0或者sinA?3sinBB??B?????2或者a?3b133a?b?sinC?;228

?13时S?c?c?tanA?;226a?3b时S?第 5 页 共 10 页

19.解：（1）当n?1时,a1?t?0?(1?t)Sn?1?t?tan?1??(1?t)Sn?t?tan?an?tn(n?N*)（2）bn?(n?2)(?3n3)?n?ln22当n为偶数时，bn?0，??bn?不存在最大项当n为奇数时，bn?0，?设?bn?最大项为bm?bm?bm?2???bm?bm?2

20．(本小题满分14分)（I）证明：在梯形ABCD中，

?an?1?t（常数）an??an?为t为首项，t为公比的等比数列?12?m?14?m?14??bn?的最大项为第13项.∵ AB//CD,AD?DC?CB?1， ∠ABC＝60，∴ AB?2

∴ AC?AB?BC?2AB?BC?cos60?3∴ AB?AC?BC ∴ BC⊥AC

∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD?AC,BC?平面ABCD ∴ BC⊥平面ACFE …………………7分

（II）由（I）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM??(0???222o222?3)，则C(0,0,0),A(3,0,0)，B?0,1,0?,M??,0,1?

∴ AB??3,1,0,BM???,?1,1? 设n1??x,y,z?为平面MAB的一个法向量，

???n1?AB?0??3x?y?0???x?y?z?0n?BM?0由?1得?

取x?1，则n1?1,3,3??，…………8分

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∵ n2??1,0,0?是平面FCB的一个法向量

????|n1?n2|????cos????|n1|?|n2|∴

11?3??3???2??11???3?2?4…10分

7 ∵ 0???3 ∴ 当??0时，cos?有最小值7，

?71?1cos???,?72?? 当??3时，cos?有最大值2。 ∴ …………………14分

x221． (Ⅰ) 解：由题意可设椭圆方程为 a2?y2b2?1 (a＞b＞0)，

?c3?,??a2??a?2,?2?1?1,?22?b?1.2b则?a 故?

x2所以，椭圆方程为 4?y2?1． ……………………………4分

(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

?y?kx?m,?2x?4y2?4?0,?由 消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且

x1?x2??8km1?4k2，

x1x2?4(m2?1)1?4k2． ……………………7分

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

y1y2所以

x1x2?k2x1x2?km(x1?x2)?m2＝

x1x2＝k2，……………………9分

?8k2m2即 1?4k2＋m2＝0，又m≠0，

11?所以 k2＝4，即 k＝2． …………………11分

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由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1．…………………12分 设d为点O到直线l的距离，

m2(2?m2)22则 S△OPQ＝d | PQ |＝| x1－x2 | | m |＝，…………………13分

所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)． ……………………………15分

11综上所述，函数g(x)?f(x)?4(x?1)的零点的个数为2. ……… 7分

22F(x)?f(x)?(x?1)?axlnx?x?1(a?0,x?1)， （Ⅱ）令

?求导，再令 G(x)?F(x)?a(lnx?1)?2x，则

G?(x)?a?2x …… 9分

1?x?所以

aa[1,]2时，G(x)?G(1)?a?2?0，即F?(x)?0，则F(x)在2上为增函数，

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