高中竞赛之重要不等式 

v1.0 可编辑可修改 高中竞赛之重要不等式

1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组ai,bi(i?1,2,即

,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，

等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1

n

左=?ai2bi2?2?aibiajbj ∴右-左=

i?1i?j

当且仅当 时，等式成立。

柯西不等式的两个推论： ⅰ．设

同号（

），则

时取等号。

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当且仅当

v1.0 可编辑可修改 ⅱ．若 ，且 ，则

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。

(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)(c13+c23+c33)?(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3

3333333333证明:对(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)和(c1+c2+c3)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)

分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.

柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设

，

，…，

； ，

，…，

是两组正数，k?0且k?1 ，则

（ ）

a1a2??b1b2 （

an 时等号成立。 bn ）

当且仅当? 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：

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右图给出了对上式的一个直观理解。

若记 ， ，则上式为

特例：

(a1?a2?2121?am)2?(b1?b2?222?bm)2?2

a?b?a2?b2?(a1?a2?2121?am?bm?am)2?(b1?b2?21222?bm)2?(c1?c2??am?bm?cm22?cm)2?2

a?b?c?a2?b2?c2?多个根式可转化为一个根式。 赫尔德不等式 已知

（

）是

个正实数， ，则

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v1.0 可编辑可修改 上式中若令????等式。

1 ，2 ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不

2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）

设a1?a2???an，b1?b2???bn，则有

?abi?1nin?1?i??aibti??aibi．

i?1i?1nn1,2,?,n?．当且即“反序和”?“乱序和”?“同序和”．其中?t1,t2,?,tn???仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕

实数ai，bi满足a1?a2???an，b1?b2???bn（i?1，2，…，n）．则

1n?1n??1n?1naibi???ai???bi???aibn?1?i． ?ni?1?ni?1??ni?1?ni?1当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时等号成立． 下面给出一个

时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中， ， ，

显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有

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v1.0 可编辑可修改 ，也即

3 琴生不等式 〔凸函数定义〕

1．设f?x?是定义在闭区间?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意

???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y?

成立，则称f?x?是?a,b?上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．

2．设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?且x?y和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，则称f?x?是?a,b?上的严格凸函数．

3．设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，则称f?x?是?a,b?上的上凸函数．

凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．

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