线性代数课后答案(高等教育出版社)

?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0 B??~~111??01?1??0?213??01?1??0?????01002??1? 0?0??知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示? 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关? (1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T? (2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T?

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为

??121?r??121?r??121? A??314?~?077?~?011??

?101??022??000???????所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关? (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为

2?10 |B|?340?22?0?

002所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关?

5? 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由

a11 |A|?1a?1?a(a?1)(a?1)

1?1a知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关?

9.设b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a4? b4?a4?a1? 证明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

证明 由已知条件得

a1?b1?a2? a2?b2?a3? a3?b3?a4? a4?b4?a1?

于是 a1 ?b1?b2?a3 ?b1?b2?b3?a4 ?b1?b2?b3?b4?a1? 从而 b1?b2?b3?b4?0?

这说明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?

(1)a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T? 解 由

?19?2??19?2??19?2??2100?4?r?0820?r?010?~~ (a1, a2, a3)???

?1102??0190??000??44?8??0?320??000???????知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组?

12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组? ?25?75 (1)?75?25?

319494321753542043?132?? 134?48?? 解 因为

?25?75?75?25??1?0 (2)?2?1?319494321753542043?r2?3r1?25132?r3?3r1?0?0134?r~4?r1?048???1??1?? 3??1??311712131343??25r?r3?4~3?05?r3?r2?0?05???311712010043?3?? 3?0??所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

1201213025?14 解 因为

?1?0?2?1?1201213025?141??1r?2r?1?3~1?03?r4?r1?0?0?1???12?2021?1?225?521??1r?r?1?3~2?01?r3?r4?0?0?2???120021?2025201??1?? ?2?0??所以第1、2、3列构成一个最大无关组? 13. 设向量组

(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T

的秩为2? 求a? b?

解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T? 因为

3?r?1113??12a2?r?111(a3, a4, a1, a2)??233b?~?01a?1?1?~?01a?1?1??

?1113??011b?6??002?ab?5???????而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5? 20.求下列齐次线性方程组的基础解系?

??x1?8x2?10x3?2x4?0 (1)?2x1?4x2?5x3?x4?0?

??3x1?8x2?6x3?2x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

0??1?8102?r?104 A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4??

?386?2??000?0????于是得

x1??4x3 ??x?(3/4)x?(1/4)x?

?234 取(x3? x4)T?(4? 0)T? 得(x1? x2)T?(?16? 3)T? 取(x3? x4)T?(0? 4)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?16? 3? 4? 0)T? ?2?(0? 1? 0? 4)T?

??2x1?3x2?2x3?x4?0 (2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0?

??8x1?7x2?6x3?3x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19??

?876?3??000?0????于是得

x1??(2/19)x3?(1/19)x4 ??x??(14/19)x?(7/19)x?

?234 取(x3? x4)T?(19? 0)T? 得(x1? x2)T?(?2? 14)T? 取(x3? x4)T?(0? 19)T? 得(x1? x2)T?(1? 7)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?2? 14? 19? 0)T? ?2?(1? 7? 0? 19)T?

26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?

??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1?

??5x1?3x2?2x3?2x4?3 解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为

??x1??x3?8?x2? x3?13? ??x4? 2 当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? 与对应的齐次方程组同解的方程为