八年级数学竞赛例题专题讲解11：双曲线初二数学试题试卷

专题11 双曲线

阅读与思考

形如y?k(k?0)的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电x阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.

反比例函数的基本性质有：

1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴

相交；

2. k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；

3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y?x及y??x. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.

反比例函数y?

k

中k的几何意义是：k等于双曲线上任意一点作x轴、x

CyAy轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1）S△AOB?1k； 2OBx（2）S矩形ACOB?k.

求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.

求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.

解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.

反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.

例题与求解

yCOEBFA

x

【例1】（1）如图，已知双曲线y?k(x?0)经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点x（兰州市中考试题）

E，四边形OEBF的面积为2，则k? .

（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数

yP1P2OA1A24y?(x?0)的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标

x是 .

（南通市中考试题）

x解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设OA1?a，

A1A2?b，把A，C两点坐标用a，b表示.

【例2】如图，P是函数y?1(x?0)图象上一点，直线y??x?1交x轴2xyBNF于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF?BE的值为 .

（北京市竞赛试题）

解题思路：设P(a,b)，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如图，已知直线y?（1）求k的值；

PEMAOx1kx与双曲线y?(x?0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4. 2xyCAOBxk（2）若双曲线y?(x?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

x（3）过原点O的另一条直线l交y?k(x?0)于P、Q两点（P点在第一x（福州市中考试题）

象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.

解题思路：对于（2），有下列不同的解法：

yDCAOEyDCAxOEyCAxOEFx

图1 图2 图3

对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系. 【例4】已知反比例函数y?k和一次函数y?2x?1，其中一次函数的图象经过(a,b)，2xyAOx(a?1,b?k)两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.

【例5】一次函数y?ax?b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y?

k

的图x

象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.

（1）若点A，B在反比例函数y?k的图象的同一分支上，如图1，试证明： x① S四边形AEDK?S四边形CFBK；② AN?BM. （2）若点A，B分别在反比例函数y?吗？试证明你的结论. k的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等x

yNEDOCyABKFMxBFMENACODKx 图1 图2 （威海市中考试题） 解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.

例5的拓展变化： 如图，点M，N在反比例函数y?足分别为E、F，则MN∥EF. k的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂xyMFO 【例6】点A(4,0)，B(0,3)与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数y?NCEx k的图象上，求k可能取的一切值. x（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.