切线的方程为???(ln??1+3)=??(?????1)，即??=????+(ln??1+3)?1；
1
1
11
对于??＝ln(??+2)，其导数??′=??+2， 则切线的斜率??′|??=??2=??
1
2+2
1
，
1
切线的方程为???ln(??2+2)=??即??=??
1
2+2
2+2
(?????2)，
??+ln(??2+2)?
??2
??2+2
；
又由直线??＝????+??是曲线??＝ln??+3的切线，也是曲线??＝ln(??+2)的切线， 则有??=??=??
1
11
2
，且??＝(ln??1+3)?1＝ln(??2+2)???+2
??2
2+2
；
若??=??
1
11
2+2
，则??1＝??2+2，
4
2
则?2=??
??2
2
??=?3，??1=3； +2；解可得2
2
则??＝(ln??1+3)?1＝2+ln3；
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）
已知函数??(??)＝sin2????+√3sin?????sin(????+2)?1(??>0)的相邻两条对称轴之间的距离为2． （1）求??的值；
（2）当??∈[?12,?2]时，求函数??(??)的值域． 【答案】 ??(??)=
1?cos2????
2
??
??
??
??
+√3sin????cos?????1=
√3sin2????2
?cos2?????=sin(2?????)?
2
2
6
11??12
，
∵ 函数??(??)的最小正周期为??，且??>0， ∴ 2??=??， ∴ 解得??＝1， ∵ ??∈[?12,?2]，
∴ 2???6∈[?3,?6]，根据正弦函数的图象可得： 当2???6=2，即??=3时，??(??)＝sin(2???6)取最大值1．
3当2???6=?3，即??=?12时，??(??)＝sin(2???6)取最小值?√，
2
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??5????
??
2??
∴ ?1?√3≤sin(2?????)?1≤1，即??(??)的值域为[?1+√3,1]．
2
2
6
2
2
2
2
试卷第9页，总19页
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 【解析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用可得??(??)=sin(2?????6)?2，利用正弦函数的周期公式即可求解??的值．
（2）由已知可得2???6∈[?3,?6]，根据正弦函数的图象即可解得函数??(??)的值域． 【解答】 ??(??)=
1?cos2????
2
??
??5??
??
1
+√3sin????cos?????1=
√3sin2????2
?cos2?????=sin(2?????)?
2
2
6
11??12
，
∵ 函数??(??)的最小正周期为??，且??>0， ∴ 2??=??， ∴ 解得??＝1， ∵ ??∈[?12,?2]，
∴ 2???6∈[?3,?6]，根据正弦函数的图象可得： 当2???6=2，即??=3时，??(??)＝sin(2???6)取最大值1．
3当2???6=?3，即??=?12时，??(??)＝sin(2???6)取最小值?√，
2
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??5????
??
2??
∴ ??√≤sin(2???)?≤，即??(??)的值域为[?
2
2
6
2
2
13??111+√312
2
,]．
如图，在直角坐标系??????中，角??的顶点是原点，始边与??轴正半轴重合，终边交单位圆于点??，且??∈(6,?2)．将角??的终边按逆时针方向旋转3，交单位圆于点??．记??(??1,???1)，??(??2,???2)． （1）若??1=4，求??2；
（2）分别过??，??作??轴的垂线，垂足依次为??，??．记△??????的面积为??1，△??????的面积为??2．若??1＝2??2，求角??的值．
1
????
??
【答案】
由三角函数的定义，可得??1=cos??,??2=cos(??+3)，
因??∈(6,2)，cos??=4，则sin??=√1?cos??=√1?()2=√．
44
????
1
1
15??
试卷第10页，总19页
∴ ??2=cos(??+??)=1cos???√3sin??=1?1?√3?√15=1?3√5．
3
2
2
2
4
2
4
8
由已知，得??1=sin??,??2=sin(??+3)， ∴ ??1=2??1???1=2cos???sin??=4sin2??，
??2=|??2|?|??2|=[?cos(??+)?sin(??+)]=?sin(2??+
2
2
3
3
4
1
1
??
??
1
2??3
1
1
1
??
)．
∵ ??1＝2??2，得 sin2??＝?2sin(2??+出 cos2??＝0．
又??∈(6,2)，2??∈(3,??)， ∴ 2??=2，∴ ??=4．
??
??
????
??
2??3
?)，即sin2??＝?2sin2???(?1)?2cos2???√3，求2
2
【考点】
任意角的三角函数 【解析】
（1）由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和的三角公式，求出??2的值． （2）根据??1＝2??2，求出 sin2??＝?2sin(2??+从而得到角??的值． 【解答】
由三角函数的定义，可得??1=cos??,??2=cos(??+3)，
因??∈(6,2)，cos??=4，则sin??=√1?cos??=√1?()2=√．
4
4
????
1
1
15??2??3
?)，进而求出 cos2?? 的值，可得2??的值，
∴ ??2=cos(??+??)=1cos???√3sin??=1?1?√3?√15=1?3√5．
32224248由已知，得??1=sin??,??2=sin(??+3)， ∴ ??1=2??1???1=2cos???sin??=4sin2??，
??2=2|??2|?|??2|=2[?cos(??+3)?sin(??+3)]=?4sin(2??+∵ ??1＝2??2，得 sin2??＝?2sin(2??+出 cos2??＝0．
又??∈(6,2)，2??∈(3,??)， ∴ 2??=2，∴ ??=4．
设函数??(??)＝?????????2+3，其中??∈??．
(Ⅰ)当??(??)为偶函数时，求函数?(??)＝????(??)的极值；
(Ⅱ)若函数??(??)在区间[?2,?4]上有两个零点，求??的取值范围． 【答案】
试卷第11页，总19页
??
??
????
??
2??
1
1
??
??
1
2??3
1
1
1??
)．
?)，即sin2??＝?2sin2???(?1)?2cos2???√3，求3
2
2
（本小题满分1
（1）由函数??(??)是偶函数，得??(???)＝??(??)，
即????????(???)2+3＝?????????2+3对于任意实数??都成立， 所以??＝0．……………
此时?(??)＝????(??)＝???3+3??，则?′(??)＝?3??2+3． 由?′(??)＝0，解得??＝±1．……………
当??变化时，?′(??)与?(??)的变化情况如下表所示： ?? (?∞,??1) ?1 (?1,?1) 1 (1,?+∞) ?′(??) 0 0 - + - ?(??) ↘ ↗ ↘ 极小值 极大值 所以?(??)在(?∞,??1)，(1,?+∞)上单调递减，在(?1,?1)上单调递增．………… 所以?(??)有极小值?(?1)＝?2，?(??)有极大值?(1)＝2．…………… （2）由??(??)＝?????????2+3＝0，得??=
??2?3????
．
??2?3????
所以“??(??)在区间[?2,?4]上有两个零点”等价于“直线??＝??与曲线??(??)=[?2,?4]有且只有两个公共点”．…………… 对函数??(??)求导，得??(??)=
′
???2+2??+3
????
，??∈
．……………
由??′(??)＝0，解得??1＝?1，??2＝3．……………
当??变化时，??′(??)与??(??)的变化情况如下表所示： ?? (?2,??1) ?1 (?1,?3) 3 ??′(??) 0 0 - + ??(??) ↘ ↗ 极小值 极大值
所以??(??)在(?2,??1)，(3,?4)上单调递减，在(?1,?3)上单调递增．…………
6
13
(3,?4) - ↘ 又因为??(?2)＝??2，??(?1)＝?2??，??(3)=??3??(?1)， 所以当?2??
即当?2??
【考点】
利用导数研究函数的极值 【解析】
(Ⅰ)先求出??的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； (Ⅱ)由已知可得??=
??2?3????13
6
13
6
??2?3????
，??∈[?2,?4]有且只有
，命题等价于“直线??＝??与曲线??(??)=
??2?3????，??∈[?2,?4]有且
只有两个公共点”．对??(??)求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解． 【解答】
（本小题满分1
（1）由函数??(??)是偶函数，得??(???)＝??(??)，
即????????(???)2+3＝?????????2+3对于任意实数??都成立， 所以??＝0．……………
试卷第12页，总19页
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