此时?(??)＝????(??)＝???3+3??，则?′(??)＝?3??2+3． 由?′(??)＝0，解得??＝±1．……………
当??变化时，?′(??)与?(??)的变化情况如下表所示： ?? (?∞,??1) ?1 (?1,?1) 1 (1,?+∞) ′?(??) 0 0 - + - ?(??) ↘ ↗ ↘ 极小值 极大值
所以?(??)在(?∞,??1)，(1,?+∞)上单调递减，在(?1,?1)上单调递增．………… 所以?(??)有极小值?(?1)＝?2，?(??)有极大值?(1)＝2．…………… （2）由??(??)＝?????????2+3＝0，得??=
??2?3????．
??2?3????所以“??(??)在区间[?2,?4]上有两个零点”等价于“直线??＝??与曲线??(??)=[?2,?4]有且只有两个公共点”．…………… 对函数??(??)求导，得??′(??)=
???2+2??+3
????，??∈
．……………
由??′(??)＝0，解得??1＝?1，??2＝3．……………
当??变化时，??′(??)与??(??)的变化情况如下表所示： ?? (?2,??1) ?1 (?1,?3) 3 ??′(??) 0 0 - + ??(??) ↘ ↗ 极小值 极大值 所以??(??)在(?2,??1)，(3,?4)上单调递减，在(?1,?3)上单调递增．…………
6
13
(3,?4) - ↘ 又因为??(?2)＝??2，??(?1)＝?2??，??(3)=??3??(?1)， 所以当?2??
即当?2??
已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．
（1）求函数??(??)的单调区间；
（2）当??＝1，且??≥2时，证明：??(???1)≤2???5． 【答案】
已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．??∈(0,?+∞)， 由于??′(??)=
????+1??211
13
6
13
6
??2?3????，??∈[?2,?4]有且只有
．??∈(0,?+∞)，
当??≥0时，对于??∈(0,?+∞)，有??′(??)>0在定义域上恒成立， 即??(??)在(0,?+∞)上是增函数．
当??<0时，由??′(??)＝0，得??=???∈(0,+∞)． 当??∈(0,???)时，??′(??)>0，??(??)单调递增；
试卷第13页，总19页
1
1
当??∈(???,+∞)时，??′(??)<0，??(??)单调递减；
证明：当??＝1时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)． 令??(??)=ln(???1)????1?2??+5． ??′(??)=???1+(???1)2?2=?
1
1
(2???1)(???2)(???1)2
1
1
1
．
当??>2时，??′(??)<0，??(??)在(2,?+∞)单调递减． 又??(2)＝0，所以??(??)在(2,?+∞)恒为负． 所以当??∈[2,?+∞)时，??(??)≤0． 即ln(???1)????1?2??+5≤0．
故当??＝1，且??≥2时，??(???1)≤2???5成立． 【考点】
利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】
（1）求函数??(??)的导数，分类讨论??的范围可得函数的单调区间；
（2）当??＝1，且??≥2时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)．令??(??)=ln(???1)?【解答】
已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．??∈(0,?+∞)， 由于??′(??)=
????+1??2
1
1???1
1
1
?2??+5．求??(??)的最大值可证明??(???1)≤2???5．
．??∈(0,?+∞)，
当??≥0时，对于??∈(0,?+∞)，有??′(??)>0在定义域上恒成立， 即??(??)在(0,?+∞)上是增函数．
当??<0时，由??′(??)＝0，得??=???∈(0,+∞)． 当??∈(0,???)时，??′(??)>0，??(??)单调递增； 当??∈(???,+∞)时，??′(??)<0，??(??)单调递减；
证明：当??＝1时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)． 令??(??)=ln(???1)????1?2??+5． ??′(??)=???1+(???1)2?2=?
1
1
(2???1)(???2)(???1)21
1
11
1
．
当??>2时，??′(??)<0，??(??)在(2,?+∞)单调递减． 又??(2)＝0，所以??(??)在(2,?+∞)恒为负． 所以当??∈[2,?+∞)时，??(??)≤0． 即ln(???1)????1?2??+5≤0．
1
试卷第14页，总19页
故当??＝1，且??≥2时，??(???1)≤2???5成立．
已知函数??(??)=?????+??ln??(??∈??).
(1)若函数??(??)在[1,?+∞)上单调递增，求实数??的取值范围；
(2)已知??(??)=2??2+(???1)??+??，??≤?
1
1
3√2，?(??)2
1
=??(??)+??(??).当时??=1时，
?(??)有两个极值点??1，??2，且??1
解(1)∵ ??(??)=?????+??ln??， ∴ ??
′
1
(??)=1+??2+??，
1??
∵ ??(??)在[1,?+∞)上单调递增， ∴ ??
′
(??)=1+??2+??≥0在[1,?+∞)上恒成立，
1
1??
∴ ??≥?(??+??)在[1,?+∞)上恒成立， ∵ ??=??????在[1,?+∞)上单调递减， ∴ ??≤?2， ∴ ??≥?2.
(2)?(??)=??(??)+??(??)=ln??+??2+????，其定义域为(0,?+∞)，
21
1
求导得，?′(??)=
??2+????+1
??
，
若?′(??)=0两根分别为??1，??2， 则有??1???2=1，??1+??2=???， ∴ ??2=??，
1
1
从而有??=???1???，
1
1
∵ ??≤?3√2，??1
2
∴ ??1∈(0,?√]，
2
则?(??1)??(??2)=?(??1)??(??)
1
21
=2ln??1+2(??12???2)+(???1???)(??1???)，
1
1
1
1111
令??(??)=2ln???2(??2???2)，??∈(0,?√]，
2则[?(??1)??(??2)]min=????min， ??′(??)=?
(??2?1)2
??3211
2，
当??∈(0,?√]时，??′(??)<0，
2
试卷第15页，总19页
∴ ??(??)在??∈(0,?√2]上单调递减，
2
√
??(??)min=??(2)=?ln2+4，
23
∴ ?(??1)??(??2)的最小值为?ln2+4.
【考点】
利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】
（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）求出函数?(??)的表达式，求出函数?(??)的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解． 【解答】
解(1)∵ ??(??)=?????+??ln??， ∴ ??
′
3
1
(??)=1+??2+??，
1??
∵ ??(??)在[1,?+∞)上单调递增， ∴ ??
′
(??)=1+??2+??≥0在[1,?+∞)上恒成立，
1
1??
∴ ??≥?(??+??)在[1,?+∞)上恒成立， ∵ ??=??????在[1,?+∞)上单调递减， ∴ ??≤?2， ∴ ??≥?2.
(2)?(??)=??(??)+??(??)=ln??+2??2+????，其定义域为(0,?+∞)， 求导得，?′(??)=
??2+????+1
??
1
1
，
若?′(??)=0两根分别为??1，??2， 则有??1???2=1，??1+??2=???， ∴ ??2=??，
1
1
从而有??=???1???，
1
1
∵ ??≤?3√2，??1
2
∴ ??1∈(0,?√2]，
2
则?(??1)??(??2)=?(??1)??(??)
1
1
=2ln??1+2(??12???2)+(???1???)(??1???)，
1
1
1
1111
令??(??)=2ln???2(??2???2)，??∈(0,?√]，
2
试卷第16页，总19页
11
2
相关推荐：
loading