过点E作EF⊥AB于点F， ︵
延长EF交AB于点C，连接AE， 则CF＝20 m．由垂径定理知， F是AB的中点， 1
∴AF＝FB＝AB＝40 m.
2设半径是r m，由勾股定理，
得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2， 即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50. ∴桥拱的半径为50 m.
(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：
当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置． 连接EM，设EC与MN的交点为D，
则DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝EM2－DM2＝502－302＝40(m)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)， ∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)． ∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．
23．(1)证明：如图，连接CD，∵AD是⊙O的直径．∴∠ACD＝90°. ∴∠CAD＋∠ADC＝90°. 又∵∠PAC＝∠PBA，
∠ADC＝∠PBA，∴∠PAC＝∠ADC. ∴∠CAD＋∠PAC＝90°.
∴PA⊥DA.而AD是⊙O的直径， ∴PA是⊙O的切线． (2)解：由(1)知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA.∴∠GCA＝∠PAC. 又∵∠PAC＝∠PBA， ∴∠GCA＝∠PBA. 而∠CAG＝∠BAC， ∴△CAG∽△BAC. ∴
AGAC
＝， ACAB
即AC2＝AG·AB. ∵AG·AB＝12， ∴AC2＝12.∴AC＝23.
(3)解：设AF＝x，∵AF∶FD＝1∶2， ∴FD＝2x.∴AD＝AF＋FD＝3x. 在Rt△ACD中，∵CF⊥AD， ∴AC2＝AF·AD，即3x2＝12， 解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴AF＝2，AD＝6.∴⊙O的半径为3. 在Rt△AFG中，AF＝2，GF＝1，
根据勾股定理得AG＝AF2＋GF2＝22＋12＝5，由(2)知AG·AB＝12， ∴AB＝
12125
＝.连接BD，如图． AG5
AB
， AD
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°. 在Rt△ABD中，∵sin∠ADB＝
12525AD＝6，AB＝，∴sin∠ADB＝.
5525
∵∠ACE＝∠ADB，∴sin∠ACE＝.
5
(第23题)
24．(1)证明：如图①，连接OC. ∵直线EF和⊙O相切于点C， ∴OC⊥EF.∵AD⊥EF， ∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠BAC.
(2)解：∵AD和⊙O相切于点A， ∴OA⊥AD.
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°. ∴四边形OADC是矩形． ∵OA＝OC，
∴矩形OADC是正方形． ∴AD＝OA. ∵AB＝2OA＝10， ∴AD＝OA＝5.
(第24题)
(3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如图②，连接BC.∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°.
∴∠ACD＋∠BCG＝90°. ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°. ∴∠DAC＝∠BCG. ∵∠BCG＝∠BAG， ∴∠BAG＝∠DAC.
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