高等数学课后习题答案第六章

法线与抛物线所围成的图形的面积为 A???3p(p3py23pp?y?)dy?(y?1y2?1y3)??16p2? 3p22p226p35? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积? (1)??2acos? ???

解? 所求的面积为

??1222 A???(2acos?)d??4a?02cos2?d???a2? 2?2 (2)x?acos3t, y?asin3t;

解 所求的面积为

A?4?0ydx?4??(asin3t)d(acos3t)?4a2?023cos2tsin4tdt

2a0?

?12a2[02sin4tdt?02sin6tdt]?3?a2?

8????

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(3)?=2a(2+cos? )?

解

所求的面积为

2?12? A??0[2a(2?cos?)]2d??2a2?0(4?4cos??cos2?)d??18?a2?

2 6? 求由摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱(0?t?2?)与横轴?所围成的图形的面积?

解?

所求的面积为

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A??02a?ydx??0a(1?cost)a(1?cost)dt?a2?0(1?cost)2dt

2a2a2a1?cost)dt?3a2? ?a2?0(1?2cost?? 2 7? 求对数螺线??ae?(??????)及射线???所围成的图形面积?

解

所求的面积为

?1?1a2 A????(ae?)2d??a2???e2?d??(e2??e?2?)?

2248? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积? (1)??3cos? 及??1?cos?? 解

3?3? 曲线??3cos? 与??1?cos??交点的极坐标为A(,)? B(,?)? 由对称性? 所求的面积

2323为

??1152 A?2[?03(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]??? 22348 / 31

(2)??2sin?及?2?cos2??

解

曲线??2sin?与?2?cos2?的交点M的极坐标为M(2,?)? 所求的面积为

26??1126 A?2[?0(2sin?)d????4cos2?d?]???1?3? 22662

9? 求位于曲线y=ex下方??该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积?

解 设直线y?kx与曲线y?ex相切于A(x0? y0)点? 则有 ?y0?kx0? ?y0?ex0?

x??y?(x0)?e0?k求得x0?1? y0?e? k?e ? 所求面积为

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ee112e ?(y?lny)dy?y0?ylny0??y?1dy?e?

0e02ey2e10? 求由抛物线y2?4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值?

解 设弦的倾角为?? 由图可以看出? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 A?A0?A1? 显然当???时? A1?0? 当???时? A1?0?

22 因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 A0?2?aa8832axdx?ax?a2?

033011? 把抛物线y2?4ax及直线x?x0(x0?0)所围成的图形绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解 所得旋转体的体积为

2 V???ydx???4axdx?2a?x200?2a?x0?

200x0x0x

12? 由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y

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